Sei R eine Äquivalenzrelation auf M.
Beh.: R^(-1) ist auch eine. Dazu muss man zeigen
1. : R^(-1) ist reflexiv, also für alle x∈M gilt (x;x) ∈ R^(-1)
Das ist erfüllt, denn es ist ja (x;x) ∈ R, und wenn man die
Komponenten vertauscht ( um nach R^(-1) überzugehen)
bleibt es ja bei (x;x).
2. R^(-1) ist symmetrisch, also für alle (x;y) ∈ R^(-1)
gilt ( y,x ) ∈ R^(-1).
Sei also (x;y) ∈ R^(-1) ==> (y,x) ∈ R
==> ( x,y) ∈ R , da R symmetrisch
==> ( y,x ) ∈ R^(-1).
3. entsprechend bekommst du durch Zurückführen auf R
auch die Transitivität hin.
Und dann die Umkehrung .