Eigenschaften Körper, Gruppe, Ring

Question

Ich soll angeben, welche Eigenschaften ein Körper aufweist, die nicht jede Gruppe und/oder jeder Ring erfüllen muss.

Allerdings hätte ich jetzt gedacht, dass alle drei ja lediglich die Eigenschaften besitzen, dass sie assoziativ sind, ein neutrales und ein inverses Element besitzen und im Fall einer abelschen Gruppe ebenfalls das Kommutativgesetz zutrifft.

Also wüsste ich jetzt nicht genau, was bei einem Körper noch anderes vorkommen sollte, was nicht unbedingt bei Gruppen und Ringen der Fall ist.

Könnte mir da jemand helfen?

Comments

Die Axiome von Körper/Ring und Gruppe miteinander zu Vergleichen finde ich etwas seltsam. Das eine hat 2 Verknüpfungen, das andere nur 1. Ist logisch dass da andere Axiome rauskommen müssen.

Was man hingegen gut vergleichen kann sind Ringe und Körper.

Man kann zB sagen das bei einem Körper oder Ring R immer (R,+,0) eine abelsche Gruppe sein muss.

Bei Ringen muss * nur assoziativ sein

Bei Ringen mit Eins gibt es zusätzlich ein neutrales Element bzgl *, bei Körpern muss es außerdem zu jedem Element ≠0 ein Multiplikativ Inverses geben und die Multiplikation kommutativ sein.

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Dankeschön, das hat mir sehr weitergeholfen!

Answer 1

Hallo

Gruppe : nur eine Verknüpfung, (+ oder *)

Ring , 2 Verknüpfungen , + und mal. Nur zu einer  gibt es zu jedem Element ein Inverses

Körper: zu beiden Verknüpfungen gibt es zu jedem Element ein Inverses.

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Offenbar passt dieser Kommentar https://www.mathelounge.de/896324/zeige-in-mathscr-s-prime-n-fur-k-0-die-formel?show=896490#c896490 auch hier.