Zusammengesetzte Funktionen (E-Funktionen)

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f(x)= e^x-x+3

Problem/Ansatz:

b) Geben Sie die Gleichung der Asymptote an

c) Der Graph von f und die Asymptote schließen auf dem Intervall [a;0] mit a<0 eine Fläche ein. Bestimmen Sie a so, dass der Inhalt dieser Fläche 0.5 beträgt. Begründen Sie, dass der Flächeninhalt für a--> - unendlich ist.

bei b) habe ich die Asymptote Y= -x+3 raus. Ist das richtig?

c) habe ich überhaupt nicht verstanden

Answer 1

b ✓

c)  Berechne \( \int \limits_{a}^{0}  e^x-x+3 - (-x+3) dx =  \int \limits_{a}^{0}  e^x dx\)

\( = [e^x]_a^0 = 1 - e^a \)

Fläche 0,5 wenn   1 - e^a = 0,5 <=>  0,5 =  e^a <=>  a = ln (0,5 ) ≈ -0,6931

Für a gegen -∞  geht e^a gegen 0 also wäre dafür der Flächeninhalt = 1.

Comments

Ich habe leider deinen Rechenweg nicht ganz genau verstanden. Könntest du es mir bitte noch vereinfachen?

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Hallo

1. Differenz zwischen Kurve und Asymptote integrieren, das steht da.

noch langsamer kann man das nicht rechnen.

lul

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Bilde die Differenzfunktion h(x) von f(x) und der Asymptote:

\( \begin{aligned} h(x) &=e^{x}-x+3-(-x+3) \\ &=e^{x}-x+3+x-3 \\&=e^x\end{aligned} \)

Jetzt das Integral \(\int \limits_{a}^{0} e^{x} d x=\left[e^{x}\right]_{a}^{0}=e^{0}-e^{a}=1-e^{a} \)

Gleichsetzen mit 0,5

\( \begin{aligned} 1-e^{a} &=0,5 \\-e^{a} &=-0,5 \\ e^{a} &=0,5\quad |ln \\ a &=-0,6931 \end{aligned} \)