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Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f(x)= ex-x+3


Problem/Ansatz:

b) Geben Sie die Gleichung der Asymptote an

c) Der Graph von f und die Asymptote schließen auf dem Intervall [a;0] mit a<0 eine Fläche ein. Bestimmen Sie a so, dass der Inhalt dieser Fläche 0.5 beträgt. Begründen Sie, dass der Flächeninhalt für a--> - unendlich ist.

bei b) habe ich die Asymptote Y= -x+3 raus. Ist das richtig?

c) habe ich überhaupt nicht verstanden

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b ✓

c)  Berechne a0exx+3(x+3)dx=a0exdx \int \limits_{a}^{0} e^x-x+3 - (-x+3) dx = \int \limits_{a}^{0} e^x dx

=[ex]a0=1ea = [e^x]_a^0 = 1 - e^a

Fläche 0,5 wenn   1 - ea = 0,5 <=>  0,5 =  ea <=>  a = ln (0,5 ) ≈ -0,6931

Für a gegen -∞  geht ea gegen 0 also wäre dafür der Flächeninhalt = 1.

Avatar von 289 k 🚀

Ich habe leider deinen Rechenweg nicht ganz genau verstanden. Könntest du es mir bitte noch vereinfachen?

Hallo

1. Differenz zwischen Kurve und Asymptote integrieren, das steht da.

noch langsamer kann man das nicht rechnen.

lul

Bilde die Differenzfunktion h(x) von f(x) und der Asymptote:

h(x)=exx+3(x+3)=exx+3+x3=ex \begin{aligned} h(x) &=e^{x}-x+3-(-x+3) \\ &=e^{x}-x+3+x-3 \\&=e^x\end{aligned}

Jetzt das Integral a0exdx=[ex]a0=e0ea=1ea\int \limits_{a}^{0} e^{x} d x=\left[e^{x}\right]_{a}^{0}=e^{0}-e^{a}=1-e^{a}

Gleichsetzen mit 0,5

1ea=0,5ea=0,5ea=0,5lna=0,6931 \begin{aligned} 1-e^{a} &=0,5 \\-e^{a} &=-0,5 \\ e^{a} &=0,5\quad |ln \\ a &=-0,6931 \end{aligned}


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