direkte Summe von Unterräumen

Question

Aufgabe:

Wir haben U₁ U₂ W₁ W₂ alles Unterräume von V.

Es gilt U₁ ⊕ W₁ = U₂ ⊕ W₂

zu zeigen oder zu widerlegen ist nun U₁ ⊆ U₂ ⇒ W₁ ⊇ W₂

Problem/Ansatz:

Mit der Dimension kann man zeigen das es sich ausgeht.
Ich dachte auch noch über komplementären Unterräumen zu zeigen. Aber es ist nicht gesagt dass U₁ ⊕ W₁ = U₂ ⊕ W₂ = V, was fuer das Komplement gelten müsste.

Answer 1

Sei \(V=K^2\),

\(U_1=U_2=<(1,0)>,\; W_1=<(0,1)>, \; W_2=<(1,1)>\), dann gilt

\(U_1\oplus W_1=U_2\oplus W_2\) und

\(U_1\subseteq U_2\), aber nicht \(W_2\subseteq W_1\).