Bestimmung der Hesse-Matrix an der Stelle (0,0)

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung der Funktion

f (x1, x2) = 5x -5x² +1xy -8y²-2x²y -5xy² +2y³


an der Stelle (x1,x2)=(0,0).

a.) Die Hesse-Matrix f" (0,0) hat folgende Einträge:

fxx= -10

fxy/fyx= 5

fyy= -16

b.) Die Determinante dieser Hesse-Matrix beträgt:

Determinante= 135

An dieser Stelle ist die Funktion konvex, konkav oder weder noch?

konkav

Problem/Ansatz:

Hallo ihr Lieben, ich habe diese Aufgabe nun mehrfach nachgerechnet, komme aber immer auf die gleichen Ergebnisse..leider ist nur 50% richtig, könnte mir vielleicht jemand sagen,  was ich falsch gemacht habe?

Danke im Voraus!:)

Answer 1

Aloha :)

Gegeben ist uns die Funktion:$$f(x;y)=5x-5x^2+xy-8y^2-2x^2y-5xy^2+2y^3$$

Zur Bestimmung der Hesse-Matrix benötigen wir die 2-ten partiellen Ableitungen:$$\frac{\partial f}{\partial x}=5-10x+y-4xy-5y^2$$$$\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial x}=-10-4y\quad;\quad\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}=1-4x-10y$$$$\frac{\partial f}{\partial y}=x-16y-2x^2-10xy+6y^2$$$$\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=1-4x-10y\quad;\quad\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial y}=-16-10x+12y$$

Das führt uns zu der Hesse-Matrix:$$H(x;y)=\left(\begin{array}{rr}-10-4y & 1-4x-10y\\1-4x-10y & -16-10x+12y\end{array}\right)$$Speziell an der Stelle \((0;0)\) sieht sie so aus:$$H(0;0)=\left(\begin{array}{rr}-10 & 1\\1 & -16\end{array}\right)$$Ihre Determinante beträgt:$$\operatorname{det}\left(H(0;0)\right)=160-1=159$$Die Summe der Eigenwerte muss \(-26\) sein, ihr Produkt muss \(159\) sein. Daher müssen beide Eigenwerte negativ sein, sodass die Hesse-Matrix bei \((0;0)\) negativ definit ist. Die Funktion ist an dieser Stelle also konkav.

Comments

Danke für die schnelle Antwort! Habe wieder mal einen Fehler beim Ableiten gemacht..stimmt so perfekt dankee!:)