Hallo,
Bei der vollständigen Induktion soll die Gültigkeit der Gleichung$$\sum\limits_{k=1}^n k + \sum\limits_{k=1}^{n-1} k= n^2, \quad n \in \mathbb N$$durch Induktion über \(n\) gezeigt werden.
was schade ist, denn damit wird die Antwort bereits mehr oder weniger in eine bestimmte Richtung gelenkt. Wobei man doch auf die Summenzeichen leicht verzichten kann. Die eigentliche Frage ist doch
Wie funktioniert es den Satz
"Die Summe zweier aufeinanderfolgenden Dreieckszahlen ist eine Quadratzahl."
einmal durch vollständige Induktion zu beweisen?
schon besser!
Dreieckszahlen lassen sich rekursiv definieren über$$d_n = d_{n-1} + n, \quad d_0=0, \space n \in \mathbb N \\ \implies d_n = \{0,\,1,\,3,\,6,\,10,\,15,\space \dots \}$$Man zeigt zunächst, dass die Aussage für \(n=1\) korrekt ist:$$d_0 =0, \quad d_1 = 1 \\ d_1 + d_0 = 1+0 = 1 = 1^2$$Der Zusammenhang \(d_n + d_{n-1}= n^2\) ist also für \(n=1\) richtig! Das war bereits der Induktionsanfang.
Die Induktionsannahme ist also: \(d_n + d_{n-1}= n^2\)
Im Induktionsschritt zeigt man nun unter dieser Annahme, dass die Gleichheit auch für \(n+1\) erfüllt ist:$$\begin{aligned}d_{n+1} + d_{n}&= \underbrace{d_n + n+1}_{=d_{n+1}} + \underbrace{d_{n-1} + n}_{=d_n} \\ &= \underbrace{d_{n} + d_{n-1}}_{=n^2} + 2n + 1 &&|\,\text{lt. Ind.Annahme (s.o.)} \\ &= n^2 + 2n + 1 \\ &= (n+1)^2 \\ &\text{q.e.d.}\end{aligned}$$wenn die Formel für \(n=1\) gilt, so gilt sie demnach auch für \(n=2\). Und wenn sie für \(n=2\) gilt, so gilt sie auch für \(n=3\) usw.; und damit ist der Beweis erbracht. Und das ganz ohne Summenzeichen ;-)
Gruß Werner
