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Aufgabe:

Untersuchen sie die gegenseitige Lage der gerade g und der Ebene e

G: x = (-1 | 0 | 0) + r • (2 | 6 | 2)

E: 2x + y + z = 4


Problem/Ansatz:

Muss ich die Ebene zuerst in die Parametergleichung umformen?
Und wie rechne ich dann weiter? Muss ich g und E dann gleichsetzen und später in ein Gleichungssystem bringen bis ich für jede variable eine Zahl rausbekomme?
(und wie forme ich am besten von der koordinatengleichung zur parametergleichung um?)

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Muss ich die Ebene zuerst in die Parametergleichung umformen?

Nein.

Es gibt 3 mögliche Fälle:

- g schneidet E.

- g ist echt parallel zu E.

- g liegt komplett in E.

Wenn dir die Begriffe "Richtungsvektor", "Normalenvektor" und "Skalarprodukt" etwas sagen, kannst du relativ schnell die beiden nicht zutreffenden Möglichkeiten ausschließen.

Avatar von 55 k 🚀

Hmm, könntest du mir vielleicht einen Lösungsansatz geben

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Aloha :)

Gegeben sind eine Gerade \(G\) und eine Ebene \(E\):$$G\colon\vec x=\begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}2\\6\\2\end{pmatrix}\quad;\quad E\colon 2x+y+z=4$$

Wir prüfen zuerst, ob die Gerade die Ebene irgendwo durchstößt. Dafür setzen wir die Koordinaten von \(G\) in die Koordinatengleichung von \(E\) ein:$$4\stackrel!=2\cdot(-1+2r)+(0+6r)+(0+2r)=-2+12r\quad\implies\quad r=\frac12$$Die Gerade schneidet die Ebene also genau in einem Punkt, nämlich in \(S(0|3|1)\).

Die Gerade liegt also nicht in der Ebene und verläuft auch nicht parallel zu ihr.

Avatar von 152 k 🚀

Super danke dir !

Wie berechne ich dann den Achsenabschnitt für die graphische Darstellung

Die Schnittpunkte der Ebene mit den Achsen kannst du direkt an der Koordinatengleichung ablesen:$$(2|0|0)\;;\;(0|4|0)\;;\;(0|0|4)$$

Der Ankerpunkt der Geraden \((-1|0|0)\) zeigt dir, wo die Gerade die \(yz\)-Ebene schneidet.

Und wie berechne ich den Punkt an dem die x-Achse die gerade schneidet

Das Bild zur Aufagbe:

blob.png

(klick auf das Bild)

Wie berechne ich dann den Achsenabschnitt für die graphische Darstellung

setze die Koordinaten der drei Punkte auf den Koordinatenachsen in die Ebenengleichung ein; dann siehst Du es ;-)

Also ist der Schnittpunkt dann bei (2|1|1) richtig ?

Nein, der Vektor \((2|1|1)\) steht senkrecht auf der Ebene.

Den Schnittpunkt haben wir oben berechnet \(S(0|3|1)\)

Und wo schneidet die gerade dann die x Achse

Ich verstehe das nicht ganz tut mir leid

Also ist der Schnittpunkt dann bei (2|1|1) richtig ?

Du hast nicht auf das Bild geklickt. Du kannst die Szene im Geoknecht3D mit der Maus rotieren.

Und wo schneidet die gerade dann die x Achse

.. immer noch nicht auf das Bild geklickt ... Der Schnittpunkt ist gegeben!

G: x = (-1 | 0 | 0) + r • (2 | 6 | 2)

Ich habe auf das Bild geklickt aber da kann ich auch nur zoomen

Wieso ist die (-1|0|0) dick geschrieben ?

\((-1|0|0)\) ist der Ankerpunkt der Geraden. Da hier \(y\)- und \(z\)-Koordinate gleich Null sind, liegt dieser Punkt in der \(yz\)-Ebene. Das heißt an diesem Punkt durchstößt die Gerade die \(yz\)-Ebene.

Der Schnittpunkt von der Ebene \(E\) und der Geraden \(G\) ist \(S(0|3|1)\) für ihn ist die \(x\)-Koordinate \(0\). Also liegt der Schnittpunkt von Gerade und Ebene auf der \(x\)-Achse.

Wieso ist die (-1|0|0) dick geschrieben ?

Weil das der Schnittpunkt mit der X-Achse ist, nach dem Du gefragt hast!

Im Geoknecht3D kannst Du das Bild mit der Maus drehen, dann bekommst Du einen besseren räumlichen Eindruck.

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