Muss ich die Ebene zuerst in die Parametergleichung umformen?

Question

Aufgabe:

Untersuchen sie die gegenseitige Lage der gerade g und der Ebene e

G: x = (-1 | 0 | 0) + r • (2 | 6 | 2)

E: 2x + y + z = 4

Problem/Ansatz:

Muss ich die Ebene zuerst in die Parametergleichung umformen?
Und wie rechne ich dann weiter? Muss ich g und E dann gleichsetzen und später in ein Gleichungssystem bringen bis ich für jede variable eine Zahl rausbekomme?
(und wie forme ich am besten von der koordinatengleichung zur parametergleichung um?)

Answer 1

Muss ich die Ebene zuerst in die Parametergleichung umformen?

Nein.

Es gibt 3 mögliche Fälle:

- g schneidet E.

- g ist echt parallel zu E.

- g liegt komplett in E.

Wenn dir die Begriffe "Richtungsvektor", "Normalenvektor" und "Skalarprodukt" etwas sagen, kannst du relativ schnell die beiden nicht zutreffenden Möglichkeiten ausschließen.

Comments

Hmm, könntest du mir vielleicht einen Lösungsansatz geben

Answer 2

Aloha :)

Gegeben sind eine Gerade \(G\) und eine Ebene \(E\):$$G\colon\vec x=\begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}2\\6\\2\end{pmatrix}\quad;\quad E\colon 2x+y+z=4$$

Wir prüfen zuerst, ob die Gerade die Ebene irgendwo durchstößt. Dafür setzen wir die Koordinaten von \(G\) in die Koordinatengleichung von \(E\) ein:$$4\stackrel!=2\cdot(-1+2r)+(0+6r)+(0+2r)=-2+12r\quad\implies\quad r=\frac12$$Die Gerade schneidet die Ebene also genau in einem Punkt, nämlich in \(S(0|3|1)\).

Die Gerade liegt also nicht in der Ebene und verläuft auch nicht parallel zu ihr.

Comments

Super danke dir !

Wie berechne ich dann den Achsenabschnitt für die graphische Darstellung

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Die Schnittpunkte der Ebene mit den Achsen kannst du direkt an der Koordinatengleichung ablesen:$$(2|0|0)\;;\;(0|4|0)\;;\;(0|0|4)$$

Der Ankerpunkt der Geraden \((-1|0|0)\) zeigt dir, wo die Gerade die \(yz\)-Ebene schneidet.

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Und wie berechne ich den Punkt an dem die x-Achse die gerade schneidet

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Das Bild zur Aufagbe:

(klick auf das Bild)

Wie berechne ich dann den Achsenabschnitt für die graphische Darstellung

setze die Koordinaten der drei Punkte auf den Koordinatenachsen in die Ebenengleichung ein; dann siehst Du es ;-)

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Also ist der Schnittpunkt dann bei (2|1|1) richtig ?

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Nein, der Vektor \((2|1|1)\) steht senkrecht auf der Ebene.

Den Schnittpunkt haben wir oben berechnet \(S(0|3|1)\)

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Und wo schneidet die gerade dann die x Achse

Ich verstehe das nicht ganz tut mir leid

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Also ist der Schnittpunkt dann bei (2|1|1) richtig ?

Du hast nicht auf das Bild geklickt. Du kannst die Szene im Geoknecht3D mit der Maus rotieren.

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Und wo schneidet die gerade dann die x Achse

.. immer noch nicht auf das Bild geklickt ... Der Schnittpunkt ist gegeben!

G: x = (-1 | 0 | 0) + r • (2 | 6 | 2)

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Ich habe auf das Bild geklickt aber da kann ich auch nur zoomen

Wieso ist die (-1|0|0) dick geschrieben ?

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\((-1|0|0)\) ist der Ankerpunkt der Geraden. Da hier \(y\)- und \(z\)-Koordinate gleich Null sind, liegt dieser Punkt in der \(yz\)-Ebene. Das heißt an diesem Punkt durchstößt die Gerade die \(yz\)-Ebene.

Der Schnittpunkt von der Ebene \(E\) und der Geraden \(G\) ist \(S(0|3|1)\) für ihn ist die \(x\)-Koordinate \(0\). Also liegt der Schnittpunkt von Gerade und Ebene auf der \(x\)-Achse.

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Wieso ist die (-1|0|0) dick geschrieben ?

Weil das der Schnittpunkt mit der X-Achse ist, nach dem Du gefragt hast!

Im Geoknecht3D kannst Du das Bild mit der Maus drehen, dann bekommst Du einen besseren räumlichen Eindruck.