Matrizen - Zeigen Sie, dass f linear ist.

Question

Hallo, ich bräuchte Hilfe bei einem Beispiel bzgl. Matrizen.

Sei \( f: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) die Abbildung

f(x, y, z, t)=(x-y+z+t, x+2 z-t, x+y+3 z-3 t)

Zu zeigen ist, dass \( f \) linear ist.

Ich blicke bei diesem Thema einfach nicht durch.

Danke im Vorhinein für die Hilfe!

Answer 1

Du musst bei dieser Abbildung zeigen, dass für zwei beliebige Vektoren aus R^4 gilt:

f(x1,y1,z1,t1)+f(x2,y2,z2,t2)=f(x1+x2,y1+y2,z1+z2,t1+t2)

und dass für einen beliebigen Vektor aus R^4 und einen beliebigen Skalar k aus dem Körper K gilt:

k * f(x,y,z,t)= f(k*x,k*y,k*z,k*t)

Hilft das dir weiter?

Answer 2

Aloha :)

Du hast hier zwei Möglichkeiten: (1) Du zeigst die Linearität und die Homogenität der Abbildungsvorschrift.$$f(\vec x+\vec y)=f(\vec x)+f(\vec y)\quad;\quad f(c\cdot\vec x)=c\cdot f(\vec x)\;\text{ mit }\;c=\text{const}\in\mathbb K$$oder (2) du findest eine Abbildungsmatrix für die Abbildungsvorschrift.

Der Weg (2) ist hier besonders einfach, denn:$$f(x;y;z;t)=\begin{pmatrix}x-y+z+t\\x+2z-t\\x+y+3z-3t\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+t \begin{pmatrix}1\\-1\\-3\end{pmatrix}$$$$f(x;y;z;t)=\left(\begin{array}{rrrr}1 & -1 & 1 & 1\\1 & 0 & 2 & -1\\1 & 1 & 3 & -3\end{array}\right)\begin{pmatrix}x\\y\\z\\t\end{pmatrix}$$

Die Abbildung ist also linear und die Abbildungsmatrix hast du direkt dazu bekommen.

Comments

Ahsoooo, danke dir!!!