Aufgabe:
Es seien \( (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}) \) ein W-Raum und \( A_{1}, A_{2}, A_{3} \in \mathcal{F} \) Ereignisse. Die symmetrische Differenz von \( A_{1} \) und \( A_{2} \) is definiert durch
\( A_{1} \Delta A_{2}:=\left(A_{1} \backslash A_{2}\right) \cup\left(A_{2} \backslash A_{1}\right) . \)
Man zeige die folgenden Aussagen:
(i) \( \mathbb{P}\left[A_{1} \Delta A_{2}\right]=\mathbb{P}\left[A_{1}\right]+\mathbb{P}\left[A_{2}\right]-2 \mathbb{P}\left[A_{1} \cap A_{2}\right] \).
(ii) Im Fall \( \mathbb{P}\left[A_{1}\right]=\frac{1}{2} \) und \( \mathbb{P}\left[A_{2}\right]=\frac{3}{4} \) gilt \( \mathbb{P}\left[A_{1} \cap A_{2}\right] \in\left[\frac{1}{8}, \frac{1}{2}\right] \).
(iii) \( \mathbb{P}\left[A_{1} \Delta A_{3}\right] \leq \mathbb{P}\left[A_{1} \Delta A_{2}\right]+\mathbb{P}\left[A_{2} \Delta A_{3}\right] \).
