Zeigen Sie, dass es ein c gibt mit f(c) = f(c + 1/2) .

Question

Aufgabe:

Die Funktion \( f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} \) sei stetig und es sei \( f(0)=f(1) \). Zeigen Sie, dass es ein \( c \in[0,1 / 2] \) gibt mit \( f(c)=f(c+1 / 2) \).

Answer 1

Betrachte g:[0; 0,5] →ℝ mit g(x)= f(x)-f(x+0,5)

ist für alle x ∈[0; 0,5] definiert, weil x und x+0,5 aus

[0;1] sind und dort ist f ja definiert.

Außerdem ist g (mit f ) stetig und es gilt

g(0)=f(0)-f(0,5)  und g(0,5)=f(0,5)-f(1)

==>  g(0)=-f(0,5)  und g(0,5)=f(0,5)

Wenn f(0,5)=0 sein sollte , dann ist

also g(0) = g(0,5)

==>  f(0)-f(0,5)=  f(0,5)-f(0,5+0,5)

==>   f(0) = - f(1)

Wegen f(0)=f(1), also beide =0

und damit  f(0)=f(0,5), also 0 das gesuchte c.

Anderenfalls, folgt aus   g(0)=-f(0,5)  und g(0,5)=f(0,5)

( also einer positiv und einer negativ)

und dem Zwischenwertsatz:

Es gibt ein c ∈ [0 ; 0,5 ] mit  g(c)=0

==>   f(c)-f(c+0,5) = 0

==>  f(c) = f(c+0,5)   q.e.d.

Comments

Außerdem ist g (mit f ) stetig und es gilt

g(0)=f(0)-f(0,5)  und g(0,5)=f(0,5)-f(1)

==>  g(0)=-f(0,5)  und g(0,5)=f(0,5)

Das geht doch nur, wenn man annimmt, dass f(0)=f(1)=0 ist, aber das wissen wir doch nicht, oder? und es scheint auch nicht so, als würden die Funktionen addiert werden. Kannst du es vielleicht gauer erklaren?

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Vor. war

Die Funktion \( f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} \) sei stetig und es sei \( f(0)=f(1) \).

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Hallo,

es reicht ja, wenn g(0) und g(0.5) verschiedene Vorzeichen haben, um den ZWS anwenden zu können. Und das wird durch die Voraussetzung gedeckt.

Gruß Mathhilf

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kann vielleicht jemand erklären warum bei g(0)= f(0)-f(1/2) und g(1/2) = f(1/2)+f(1)

jeweils f(0) und f(1) weggelassen werden könne ? Ist das irgendeine Rechenregel oder ein Satz ?