f sei stetig und f(0)=f(1). Zeigen Sie, dass es dann ein c ∈ [0, 1/2 ] gibt mit f (c) = f (c + 1/2 ).

Question

Aufgabe:

Die Funktion f : [0, 1] → ℝ sei stetig und es gelte f (0) = f (1). Zeigen Sie, dass es dann
ein c ∈ [0, 1/2 ] gibt mit f (c) = f (c + 1/2 ).

Problem/Ansatz:

Ich habe es hier schon mit dem Epsilon-Delta Kriterium versucht, bin aber auf kein Ergebnis gekommen. Wie kann man diese Aufgabe lösen? Wäre für Hilfe dankbar.

Comments

g(x) := f(x) - f(x + 1/2) ist stetig auf [0, 1/2]

Es gilt g(0) = f(0) - f(1/2)

g(1/2) = f(1/2) - f(1)

also g(0) + g(1/2) = f(0) - f(1) = 0 => g(0) = -g(1/2)

Was passiert wenn g(0) = 0 ist?

Was falls g(0) ≠ 0?

Answer 1

Wir betrachten die auf \([0,1/2]\) stetige Funktion

\(g(x)=f(x)-f(x+1/2)\):

Wäre \(g(x)>0\) für alle \(x\in [0,1/2]\quad (*)\),

dann wäre

\(0<g(0)=f(0)-f(1/2)=f(1)-f(1/2)=-(f(1/2)-f(1))=-g(1/2)\),

d.h. \(g(1/2)<0\) im Widerspruch zu \((*)\).

Ebenso führt die Annahme \(g(x)<0\) für alle \(x\in [0,1/2]\)

zu einem Widerspruch. Es gibt also \(x_1,x_2\in [0,1/2]\) mit

\(g(x_1)<0,\; g(x_2)>0\) oder ein \(c\in [0,1/2]\) mit \(g(c)=0\)

Der Zwischenwertsatz liefert dann im ersten Fall ein

\(c\in [0,1/2]\) mit \(g(c)=0\), d.h. \(f(c)=f(c+1/2)\).