Tangente Funktionsgleichung usw.

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion

Problem/Ansatz:

A) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Tangente an dem Graphen h(x) =2x³-5x² an der Stelle x0=1

B) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung einer parallelen Geraden (zur Tangente aus a)), welche die x-Achse an der Stelle x0=3 schneidet.

Answer 1

Hallo

a) 1. f' bestimmen, 2. x0=1 einsetzen, also f'(1)

 2. dann Gerade mit de Steigung m=f'(1) durch den Punkt (1,f(1) also durch P=(1-3) legen,

b) Gerade mit m=f'(1) durch Punkt (3,0) legen.

Gruß lul

Answer 2

Hallo,

Steigung = Ableitung

\( h(x)=2 x^{3}-5 x^{2} \)
\( h^{\prime}(x)=6 x^{2}-10 x \)
\( h^{\prime}(1)=6 \cdot 1^{2}-10 \cdot 1=-4 \

Allgemeine Form einer Tangentengleichung

\( t(x)=m x+b \)

Die Steigung kennen wir, also

\( t(x)=-4 x+b \)

Um b zu bestimmen, setze die Koordinaten des Punktes in die Gleichung ein:

\( f(1)=-3 \)

\( -3=-4 \cdot 1+b \)
\( -3=-4+b \)
\( 1=b \)
\( t(x)=-4 x+1 \)

Alternativ kannst du auch folgende Formel für Tangentengleichungen verwenden:

\(t(x)=f'(x_0)\cdot (x-x_0)+f(x_0)\)

Eine parallele Gerade hat die gleiche Steigung und die Nullstelle bei x = 3

Daraus ergibt sich

\(y=-4x+b\\ 0=-4\cdot 3+b\\ 12=b\\g(x)=-4x+12 \)

Gruß, Silvia

Answer 3

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

zu a) Die Tangente an eine Funktion \(f(x)\) im Punkt \(x_0\) hat allgemein die Form:$$t(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)$$Hier haben wir konkret mit \(x_0=1\):$$f(x)=2x^3-5x^2\quad\;\implies\quad f(1)=-3$$$$f'(x)=6x^2-10x\quad\implies\quad f'(1)=-4$$Die gesuchte Tangente lautet daher:$$t(x)=-3-4\cdot(x-1)=-4x+1$$

zu b) Wir suchen nun eine Gerade mit derselben Steigung wie die Tangente, also \(m=-4\), die die \(x\)-Achse bei \(x_0=3\) schneidet:$$g(x)=m\cdot x+b=-4\cdot x+b\quad;\quad 0\stackrel!=g(3)=-4\cdot3+b\quad\implies\quad b=12$$Damit lautet die gesuchte Gerade:$$g(x)=-4x+12$$

~plot~ 2x^3-5x^2 ; -4x+1 ; {1|-3} ; -4x+12 ; {3|0} ; [[-2|4|-6|6]] ~plot~