Bruchgleichungen wie komme ich auf den Hauptnenner, Definitionsmenge?

Question

Bestimme Hauptnenner, Definitionsmenge und Lösung der Bruchgleichung

 

        7              -            3x                       =    3

  2x-3              -      5x + 5                       = x+1

Answer 1

Ein möglicher Hauptnenner ist immer das Produkt aller beteiligten Nenner, vorliegend also:

( 2 x - 3 ) * ( 5 x + 5 ) * ( x + 1 )

Manchmal kann man einen etwas kleineren Hauptnenner finden, nämlich dann, wenn einer der beteiligten Nenner als Faktor in einem der anderen Nenner steckt. Das ist vorliegend der Fall, es ist nämlich

( 5 x + 5 ) = 5 * ( x + 1 )

Hier steckt also der dritte Nenner als Faktor im zweiten Nenner. In einem solchen Fall braucht dieser gemeinsame Faktor nur einmal benutzt zu werden, sodass vorliegend

( 2 x - 3 ) * 5 * ( x + 1 )

ebenfalls ein Hauptnenner ist, und zwar ein kleinerer.

 

Holla, da sind ja noch mehr Fragen ...

Die Definitionsmenge ist die Menge aller Zahlen, für die die Terme der Bruchgleichung definiert sind. Da die Division durch Null unzulässig bzw. undefiniert ist gehören bei Bruchtermen alle diejenigen Zahlen nicht zur Definitionsmenge, für die einer der beteiligten Nenner den Wert  Null annehmen würde.

Vorliegend sind das also die beiden Zahlen 1,5 und - 1.

Für alle übrigen Zahlen sind alle Terme der Bruchgleichung definiert, sodass die Definitionsmenge lautet (vorausgesetzt, die Grundmenge sollen die reellen Zahlen R sein):

D = R \ { -1 ; 1,5 }

 

$$\frac { 7 }{ 2x-3 } -\frac { 3x }{ 5x+5 } =\frac { 3 }{ x+1 }$$Alle Brüche durch entsprechendes Erweitern auf den Hauptnenner bringen:$$\Leftrightarrow \frac { 7(5x+5) }{ (2x-3)(5x+5) } -\frac { 3x(2x-3) }{ (2x-3)(5x+5) } =\frac { 3(2x-3)*5 }{ (2x-3)(5x+5) }$$Da alle Nenner gleich sind, braucht man nur noch die Zähler zu betrachten:$$\Leftrightarrow 7(5x+5)-3x(2x-3)=3(2x-3)*5$$Ausmultiplizieren und zusammenfassen:$$\Leftrightarrow 35x+35-6{ x }^{ 2 }+9x=30x-45$$$$\Leftrightarrow 35x-6{ x }^{ 2 }+9x-30x=-45-35$$$$\Leftrightarrow -6{ x }^{ 2 }+14x=-80$$$$\Leftrightarrow 6{ x }^{ 2 }-14x=80$$Quadratische Gleichung lösen, dazu zunächst durch den Koeffizienten des quadratischen Gliedes dividieren, hier also durch 6:$$\Leftrightarrow { x }^{ 2 }-\frac { 7 }{ 3 } x=\frac { 40 }{ 3 }$$Nun lösen mit Hilfe der quadratischen Ergänzung:$$\Leftrightarrow { x }^{ 2 }-\frac { 7 }{ 3 } x+{ { \left( \frac { 7 }{ 6 }  \right)  }^{ 2 } }=\frac { 40 }{ 3 } +{ { \left( \frac { 7 }{ 6 }  \right)  }^{ 2 } }$$$$\Leftrightarrow { { \left( x-\frac { 7 }{ 6 }  \right)  }^{ 2 } }=\frac { 40 }{ 3 } +\frac { 49 }{ 36 } =\frac { 529 }{ 36 }$$$$\Leftrightarrow x-\frac { 7 }{ 6 } =\pm \sqrt { \frac { 529 }{ 36 }  } =\pm \frac { 23 }{ 6 }$$$$\Leftrightarrow x=\pm \frac { 23 }{ 6 } +\frac { 7 }{ 6 }$$$$\Rightarrow { x }=-\frac { 23 }{ 6 } +\frac { 7 }{ 6 } =-\frac { 8 }{ 3 } \vee { x }=\frac { 23 }{ 6 } +\frac { 7 }{ 6 } =5$$

Answer 2

JotEs hat ja schon richtig vorgearbeitet. Vorausgesetzt die Bruchgleichung lautet wie folgt notiert, würde ich die Lösung dann wie folgt ausrechnen.

7/(2·x - 3) - 3·x/(5·x + 5) = 3/(x + 1)

7/(2·x - 3) - 3·x/(5·(x + 1)) = 3/(x + 1)

7·5·(x + 1)/(5·(x + 1)·(2·x - 3)) - 3·x·(2·x - 3)/(5·(x + 1)·(2·x - 3)) = 3·5·(2·x - 3)/(5·(x + 1)·(2·x - 3))

7·5·(x + 1) - 3·x·(2·x - 3) = 3·5·(2·x - 3)

35·x + 35 - (6·x^2 - 9·x) = 30·x - 45

- 6·x^2 + 44·x + 35 - 30·x + 45 = 0

- 6·x^2 + 14·x + 80 = 0

6·x^2 - 14·x - 80 = 0

x = - 8/3 ∨ x = 5