Aloha :)
Der Graph der Funktion$$f(x)=e^{-4x}\quad;\quad x\in[0;\ln(2)]$$soll in dem angegebenen Intervall um die \(x\)-Achse rotiert werden. Wenn du dir einen \(x\)-Wert aus diesem Intervall hinausgreifst, nennen wir ihn mal \(x_0\). Dann entsteht bei der Rotation des Graphen um diesen Punkt eine Kreisflläche, deren Mittelpunkt auf der \(x\)-Achse liegt und die senkrecht zur \(x\)-Achse orientiert ist. Der Radius \(r\) dieser Kreisfläche ist gleich dem Funktionswert an der Stelle \(x_0\), also gilt \(r=f(x_0)\). Die Fläche der entstandenen Kreisscheibe ist also \(\pi r^2=\pi\,[f(x)]^2\). Diese Kreisflächen muss du nun entlang der \(x\)-Achse aufsummieren, um das Volumen zu erhalten:$$V=\int\limits_0^{\ln(2)}\pi\,[f(x)]^2\,dx=\int\limits_0^{\ln(2)}\pi\,\left(e^{-4x}\right)^2\,dx=\int\limits_0^{\ln(2)}\pi\,e^{-8x}\,dx=\left[-\frac{\pi}{8}e^{-8x}\right]_{0}^{\ln(2)}$$$$\phantom{V}=-\frac{\pi}{8}e^{-8\ln(2)}+\frac{\pi}{8}=\frac{\pi}{8}\left(1-\frac{1}{2^8}\right)=\frac{\pi}{8}\cdot\frac{2^8-1}{256}=\frac{255}{2048}\,\pi$$
