Berechnen Sie die Koordinaten von den Standardbasisvektoren

Question

Aufgabe:

Sei A=

1	0	1	1
1	1	2	1
0	-1	0	1
1	0	0	2

∈ Mat(4x4; ℝ).

1.) Berechnen Sie die Inverse der Matrix A.

2.) Berechnen Sie die Koordinaten von den Standardbasisvektoren von ℝ⁴  bezüglich der Basis v1=(1/1/0/1), v2=(0/1/-1/0), v3(1/2/0/0), v4=(1/1/1/2).

Problem:

Die Inverse der Matrix A habe ich berechnet und erhalte

2	-1	-1	0
-1	0,5	-0,5	0,5
0	0,5	0,5	-0,5
-1	0,5	0,5	0,5

Ich weiß nicht, wie ich den zweiten Teil der Aufgabe weiter lösen soll.

Answer 1

Mit der Inversen ist es ganz einfach.

Du suchst ja a,b,c,d mit

M * (a,b,c,d)^T = e₁ .  Multipliziere die Gleichung mit M^(-1)

M^(-1) * M * (a,b,c,d)^T = M^(-1) * e1

 ==>  (a,b,c,d)^T = M^(-1) * e₁

Wenn du das entsprechend mit den anderen Basisvektoren

auch machst , dann siehst du, dass für die Matrix N , in deren

Spalten die gesuchten Koordinaten stehen gilt

              N = M^(-1) * E (Einheitsmatrix) , also

             N = M^(-1).

Die gesuchten Koordinaten sind also in den Spalten

deiner - richtig bestimmten - Matrix M^(-1).