Basen und Dimensionen

Question

Aufgabe:

Sei \( V \) ein Vektorraum über einem Körper \( K \).
(a) Seien \( U \) und \( W \) Unterräume von \( V \) mit \( U \cap W=\left\{0_{V}\right\} \). Zeigen Sie: Wenn \( B_{U} \) eine Basis von \( U \) und \( B_{W} \) eine Basis von \( W \) ist, dann ist \( B_{U} \cup B_{W} \) eine Basis von \( U+W \).

Sei von nun an angenommen, dass \( V \) endlich-dimensional ist. Ein Unterraum \( H \) von \( V \) heißt Hyperebene von \( V \), falls \( \operatorname{dim}_{K}(H)=\operatorname{dim}_{K}(V)-1 \) ist. Man zeige:
(b) Sind \( H \) eine Hyperebene von \( V \) und \( U \) ein Unterraum von \( V \) mit \( U \nsubseteq H \), so ist \( \operatorname{dim}_{K}(U \cap H)=\operatorname{dim}_{K}(U)-1 . \)
(c) Für alle \( n \in \mathbb{N} \) und alle Hyperebenen \( H_{1}, \ldots, H_{n} \) von \( V \) gilt:
\(\operatorname{dim}_{K}\left(\bigcap_{i=1}^{n} H_{i}\right) \geq \operatorname{dim}_{K}(V)-n .\)

Problem/Ansatz:

a) habe ich schon so gut wie fertig (solltet ihr aber noch gute Ideen haben, wie ihr die lösen würdet, immer gerne :) )

Bei b) und c) habe ich gar keine Idee

Answer 1

b) Wenn U⊄H dann ist dim(V) ≥ dim(U+H) > dim(U) .

 Dimensionssatz gibt

dim(V) ≥  dim(U+H) = dim(U) + dim(H) - dim(U∩H)

<=>  dim(V) +  dim(U∩H) ≥  dim(U) + dim(H)

<=>   dim(V) +  dim(U∩H) ≥  dim(U) + dim(V)-1

<=>    dim(U∩H) ≥  dim(U)  - 1

U⊄H ==>  dim(U∩H) < dim(U) 

 =>      dim(U) >  dim(U∩H) ≥  dim(U)  - 1

Da das alles nat. Zahlen sind , liegt zwischen

dim(U) und dim(U)-1 keine Zahl, also gilt Gleichheit

                          dim(U∩H) =  dim(U)  - 1

Comments

Wieso gilt:
Wenn U⊄H dann ist dim(V) ≥ dim(U+H) > dim(U) .

und
U⊄H ==>  dim(U∩H) < dim(U)?

Aber vielen Dank schonmal :)

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Wieso gilt:
Wenn U⊄H dann ist dim(V) ≥ dim(U+H) > dim(U) .

dim(V) ≥ dim(U+H) weil U+H Unterraum von V

dim(U+H) > dim(U) , weil jede Basis von U mindestens

einen Vektor enthält, der nicht in H ist, also von

den Basisvektoren von H lin. unabh. ist.

und
U⊄H ==>  dim(U∩H) < dim(U)?

U∩H ist ein Teilraum von U

und wegen U⊄H ist es nicht gleich U.

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Dankeschön :)

Hast du zufällig noch eine Idee für c)?

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Geht vermutlich auch mit dem Dim-satz und

vielleicht vollst. Induktion ???

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Vollständige Induktion habe ich mir auch schon gedacht, aber hatte gehofft, dass es vielleicht anders geht :/

Für a:
Ich habe paar Lemmata angewandt und nachgewissen, dass \( B_{U} \cup B_{W} \) erzeugendes System ist.
Nur bei der Linearen Unabhängigkeit bin ich mir unsicher.
Sei v Element der Vereinigung. Da der Schnitt nur der Nullvektor ist, ist v entweder in U oder in W.

Die Basen von W sind linear unabhängig, die von U ebenfalls.
Die Basis von \( B_{U} \cup B_{W} \) kann man ja bekanntlich ordnen, und zwar nach den Vektoren von U und nach denen von W.

Dann erhält man sozusagen die Summe von den Basen von U und die von den Basen von V. Die Summe der beiden soll 0 sein.

Kann man dann einfach argumentieren, dass das genau dann gegeben ist, wenn Die beiden Summanden 0 sind? Die sind genau dann 0, wenn alle λ bzw μ 0 sind, also die Vektoren der Vereinigung auch linear unabhängig