Bestimme die Dimension von V / U.

Question

Aufgabe:

Es sei $$V := \mathbb{Q}^{5x1}$$. Der Unterraum von U sei von den folgenden Vektoren erzeugt:

$$U:= \langle \begin{pmatrix} 7\\4\\5\\4\\1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 6\\3\\3\\3\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 13\\7\\8\\7\\1 \end{pmatrix}\rangle$$

Bestimme die Dimension von U und V / U.

Problem/Ansatz:

Für die Dimension von U habe ich zwei, da  $$ \begin{pmatrix} 13\\7\\8\\7\\1 \end{pmatrix}$$ linear abhängig von den anderen beiden Vektoren ist.

Ich stehe jetzt allerdings etwas auf dem Schlauch, was die Dimension von V / U ist.

Vielen Dank für eure Hilfe.

Comments

Ich bin mir ziemlich sicher, dass im Deinem Lehrmaterial ein Satz steht, wie man die Dimension von V/U aus der Dimension von U bestimmen kann

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Wir haben den Hinweis bekommen, das $$M\subseteq V$$ eine Basis von V / U ist, wenn $$\langle M \rangle \cap U =\left\{0\right\}$$ und M die größte Menge mit dieser Eigenschaft ist. Ich verstehe aber nicht, wie ich das anwenden kann. Meine Idee wäre, das M nur aus Vektoren besteht, die an Zeile 2 und 4 unterschiedlich sind um $$\langle M \rangle \cap U =\left\{0\right\}$$ zu erreichen, da Vektoren aus U an 2 und 4 immer die selbe Zahl haben. Ich weiß aber nicht wie man dann die größtmögliche Menge findet und daraus die Basis konstruiert.

Answer 1

Zur Beantwortung der Frage brauchst Du M nicht explizit bestimmen. Du hast eine Basis (b1,b2) für U. Nach dem Basisergänzungssatz kannst Du diese zu einer Bssis (b1,b2 b3 b4,b5) von V ergänzen. Damit kannst Du die Menge aus b3,b4,b5 für M wählen. Die Dimendion von V/U ist also 3

Der Satz, den ich erwartet hatte, ist

Dim(U)+Dim(V/U)=Dim(V)

Comments

Der Basisergänzungssatz sagt mir nichts, ich glaube den hatten wir so noch nicht. Vielen Dank für die Hilfe!

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Und wie kann man Dim(U)+Dim(V/U)=Dim(V) begründen?

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Die Begründung wäre so wie ich es gemacht habe. Alternativen sehe ich so schnell nicht. Vielleicht sollst Du diese M tatsächlich konkret berechnen.

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Ich habe gerade gesehen, dass die Basis von V/U zu finden auch noch eine Aufgabe ist. Kann ich dafür den Ansatz aus meinem ersten Kommentar unter dem ursprünglichen Post verwenden?

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Der Ansatz mit den 2 Komponenten reicht wohl nicht. Ich rate Dir einen neuen Thread aufzumachen mit dem Titel "Basis für V/U berechnen" und dort U anzugeben und nach dem Rechenweg zu fragen.

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Mache ich, vielen Dank!