Erzeugendensysteme Untervektorraum, Dimension, Vektorraum

Question

Gegeben sind im Vektorraum R³  die folgenden 4 Vektoren.

x₁ = \( \begin{pmatrix} 1\\-2\\1 \end{pmatrix} \) , x₂= \( \begin{pmatrix} 0\\2\\2 \end{pmatrix} \) , x₃= \( \begin{pmatrix} -2\\-4\\6 \end{pmatrix} \) , x₄= \( \begin{pmatrix} 3\\4\\-7 \end{pmatrix} \)

(i) Zeigen Sie, dass die Erzeugendensysteme E1 = {x1,x2} und E2 = {x3,x4} denselben Untervektorraum U des R3 erzeugen.

E1= \( \begin{pmatrix} 10\\-22\\13 \end{pmatrix} \)

E2= \( \begin{pmatrix} -23\\-44\\6-7 \end{pmatrix} \) , leider kann ich zwischen den Zahlen keinen Abstand einsetzten. (bitte beachten)

Wie kann ich jetzt zeigen, dass E1 und E2 denselben Untervektorraum U des R3 erzeugen? 

(ii) Bestimmen Sie die Dimension des Untervektorraumes U.

Answer 1

Zeigen Sie, dass die Erzeugendensysteme E1 = {x1,x2} und E2 = {x3,x4} denselben Untervektorraum U des R3 erzeugen.

Das stimmt nicht (Hast du dich vertippt ?) denn

x4 ist keine Linearkombination von x1 und x2, also

ist x4 nicht aus dem von x1 und x2 erzeugten Unterraum.

Wohl aber ist x4 in dem von x3 und x4 erzeugten Unterraum.

Comments

ich habe mich bei E1 vertippt, aber bei x1/2/3/4 nicht.

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Dann versuche mal x4 mit x1 und x2 darzustellen, etwa so

a*x1 + b*x2 = x4

und es zeigt sich:

Solche a und b gibt es nicht , also ist x4 nicht

in dem von x1 und x2 erzeugten Unterraum.