Aufgabe:
Es sei $$V := \mathbb{Q}^{5x1}$$. Der Unterraum von U sei von den folgenden Vektoren erzeugt:
$$U:= \langle \begin{pmatrix} 7\\4\\5\\4\\1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 6\\3\\3\\3\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 13\\7\\8\\7\\1 \end{pmatrix}\rangle$$
seien $$v,w\in V$$
$$v:=\begin{pmatrix} -1\\3\\13\\-5\\8 \end{pmatrix} w:= \begin{pmatrix} 6\\-10\\-48\\22\\-30 \end{pmatrix}$$
Sind die Äquivalenzklassen der Vektoren v und w linear unabhängig als Elemente von V / U?
Problem/Ansatz:
Mein Ansatz ist, ein homogenes LGS mit a*v1 + b*w1 = 0 aufzustellen, mit v1,w1 als Vertretern in V/U, also z.B. $$v1:=\begin{pmatrix} -1\\3\\13\\-5\\8 \end{pmatrix} + x*\begin{pmatrix} 7\\4\\5\\4\\1 \end{pmatrix} +y*\begin{pmatrix} 6\\3\\3\\3\\0 \end{pmatrix} +z*\begin{pmatrix} 13\\7\\8\\7\\1 \end{pmatrix}$$
$$x,y,z \in \mathbb{Q}$$
Also erhält man ein unlösbares Gleichungssystem, mit 5 Gleichungen und 5 Variablen. Ist dieser Ansatz richtig, oder habe ich etwas falsch verstanden? Ich bin vor allem unsicher, ob das mit den Äquivalenzklassen so richtig ist.
Vielen Dank für eure Hilfe.
