Sind die Äquivalenzklassen der Vektoren v und w linear unabhängig als Elemente von V / U?

Question

Aufgabe:

Es sei $$V := \mathbb{Q}^{5x1}$$. Der Unterraum von U sei von den folgenden Vektoren erzeugt:

$$U:= \langle \begin{pmatrix} 7\\4\\5\\4\\1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 6\\3\\3\\3\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 13\\7\\8\\7\\1 \end{pmatrix}\rangle$$

seien $$v,w\in V$$

$$v:=\begin{pmatrix} -1\\3\\13\\-5\\8 \end{pmatrix} w:= \begin{pmatrix} 6\\-10\\-48\\22\\-30 \end{pmatrix}$$

Sind die Äquivalenzklassen der Vektoren v und w linear unabhängig als Elemente von V / U?



Problem/Ansatz:

Mein Ansatz ist, ein homogenes LGS mit a*v1 + b*w1 = 0 aufzustellen, mit v1,w1 als Vertretern in V/U, also z.B. $$v1:=\begin{pmatrix} -1\\3\\13\\-5\\8 \end{pmatrix} + x*\begin{pmatrix} 7\\4\\5\\4\\1 \end{pmatrix} +y*\begin{pmatrix} 6\\3\\3\\3\\0 \end{pmatrix} +z*\begin{pmatrix} 13\\7\\8\\7\\1 \end{pmatrix}$$

$$x,y,z \in \mathbb{Q}$$

Also erhält man ein unlösbares Gleichungssystem, mit 5 Gleichungen und 5 Variablen. Ist dieser Ansatz richtig, oder habe ich etwas falsch verstanden? Ich bin vor allem unsicher, ob das mit den Äquivalenzklassen so richtig ist.

Vielen Dank für eure Hilfe.

Answer 1

Du musst nur prüfen, ob aus $a\cdot v + b\cdot w\in U$ folgt, dass

$a=b=0$ ist.

Comments

Also zeige ich einfach, dass v und w linear unabhängig sind, und muss nichts mit Äquivalenzklassen | Vertretern | V/U machen? Und wie kann man das begründen?

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dass v und w linear unabhängig sind,

Das habe ich nicht so gesagt! Wenn das so wäre,

wäre das ja eine "Pipifax-Aufgabe"; denn v und w sind

ja ganz offensichtlich linear unabhängig!

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Sorry, hatte mich verlesen, dachte v = w = 0, warum zeigt a=b=0 denn, dass v,w in V / U linear unabhängig sind?

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$a\cdot v+b\cdot w=0$ in $V/U$ ist äquivalent zu

$a\cdot v+b\cdot w\in U$.

Noch ein kleiner Tipp:

$U$ wird bereits von den ersten beiden dort angegebenen

Vektoren erzeugt, da der 3-te die Summe der beiden ersten ist.