Maximaler Definitionsbereich und Ableitung der Funktion

Question

Hallo :) 
Aufgaben mit Ableitungen habe ich schon sehr lange nicht mehr gelöst. Könnte jemand drüber schauen und die Fragen beantworten?

Aufgabe:

Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich der folgenden Funktionsvor-
schriften und berechnen Sie jeweils ihre erste Ableitung.

Problem/Ansatz:

a) Ich habe f(x) zu f(x) = \( \sqrt[2]{x} \) umgeformt. Der Definitionsbereich D müsste doch dann so aussehen: D=ℝ⁺₀ (Stimmt diese Schreibweise?
Also, die reelen Zahlen, ohne negative Zahlen und mit der Null.
Als Ableitung habe ich f '(x)= 1/2 * x^-1/2

b) Hier habe ich mithilfe des Graphen in einem Programm das aufgeschrieben: Dmax = x∈ ℝ : { x ≥ 1}. Stimmt das so? Und wie könnte ich durch rechnen den Definitionsbereich hier erhalten?
Als Ableitung habe ich: f '(x) \( \frac{(x^2-1) * x}{x+\sqrt{x^2-1}} \)

c) Ich habe die Ableitung f '(x) =  x^x  * (1+ ln(x) ) erhalten.
  Jedoch habe ich es nicht geschafft den Definitionsbereich zu bestimmen.

Answer 1

a) ✓

b) Schreibweise Dmax = x∈ ℝ : { x ≥ 1}. besser Dmax = { x∈ ℝ | x ≥ 1}.

rechnerisch: Überlege : Es muss sein x+√(x^2-1) > 0

                       Die Wurzel ist, wenn sie existiert nie negativ.

Existieren tut sie für |x| ≥ 1 . Für x≥1 ist also alles OK; denn da

ist es ja dann insgesamt größer oder gleich 1, also der ln kein Problem.

Für x ≤ -1 existiert zwar die Wurzel, aber x+√(x^2-1) wird negativ,

da √(x^2-1)  einen kleineren Betrag hat, asls der von x.

Ableitung gibt 1 / √(x^2 - 1) .

Comments

Hallo, erstmal danke für die Antwort.

Bei der b) habe ich mit der Ketten- und Quotientenregel gearbeitet. Komisch, dann muss ich irgendwo einen Fehler gemacht haben.

Bei der c) habe ich jedoch immer noch das Problem, dass mich der Definitionsbereich verwirrt.
Ich dachte er ist schlicht R, jedoch sieht der Graph ganz anders aus. Wie bestimmt man diesen?

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Bei der b) habe ich mit der Ketten- und Quotientenregel gearbeitet. Komisch, dann muss ich irgendwo einen Fehler gemacht haben.

Dann mal langsam:

b) f ' (x) =  (mit Kettenregel)

= \(  \frac{1}{x+\sqrt{x^2-1}}  \cdot Abl. von (x+\sqrt{x^2-1})\)

= \(  \frac{1}{x+\sqrt{x^2-1}}  \cdot  (1 +\frac{1}{2\sqrt{x^2-1}}\cdot 2x )\)

 = \(  \frac{1}{x+\sqrt{x^2-1}}  \cdot (1 +\frac{x}{\sqrt{x^2-1}})\)

= \(  \frac{1}{x+\sqrt{x^2-1}}  \cdot (\frac{\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2-1}} +\frac{x}{\sqrt{x^2-1}})\)

= \(  \frac{1}{x+\sqrt{x^2-1}}  \cdot \frac{\sqrt{x^2-1}+x}{\sqrt{x^2-1}}  \)

Jetzt kürzen gibt

= \(  \frac{1}{\sqrt{x^2-1}} \)

Bei der c) habe ich jedoch immer noch das Problem, dass mich der Definitionsbereich verwirrt.
Ich dachte er ist schlicht R, jedoch sieht der Graph ganz anders aus. Wie bestimmt man diesen?

Du musst doch ln(x^x) = x*ln(x) benutzen und bei ln ist es doch schon nur R⁺ .             Abl. ist aber OK.