(i) \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{3 n}\right)^{3 n} \)
Da wird ja eine Teilfolge betrachtet, von der, für die gilt
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n} = e^{-1}\)
also der gleiche Grenzwert.
(ii) \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{2 n^{3}+(-1)^{n}}{-3 n^{3}-(-1)^{n}}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{2 +\frac{(-1)^{n}}{n^3}}{-3 +\frac{(-1)^{n}}{n^3} }=-\frac{2}{3}\)
(iii) \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{2^{n+1}+5^{n+1}}{2^{n}+5^{n}}= \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{2\cdot(\frac{2}{5})^n+5}{(\frac{2}{5})^n+1} =5 \)
(iv) \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{5 n^{2}-2 n+10}{n^{3}+3 n^{2}-8}}{\frac{2 n+15}{4 n^{2}-n+1}}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{20n^4-13n^3+47n^2-12n+10}{2n^4+21n^3+45n^2-16n-120}=10 \).
