Rekursive Folgen und ihre Grenzwerte

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Ich habe folgende Ansätze bin mir aber nicht sicher, ob diese korrekt sind:

Text erkannt:

Um die Aufgaben (i) bis (iv) zu lösen, betrachten wir die rekursiven Folgen \( \backslash\left(\left(a \_n\right) \backslash\right) \) und \( \backslash( \) (b_n) \\) mit den Rekursionsgleichungen:
- Induktionsanfang: \\( 0 \leq a_0 \leq b_0 \\) aus der Voraussetzung.
- Induktionsschritt:
- Nichtnegativität: \\(a_\{n+1\} = \sqrt\{a_n b_n\} \geq 0 \\), \( \backslash\left(b \_\{n+1\}=\backslash f r a c\left\{a \_n+b \_n\right\}\{2\}\right. \) (geq 0 ).
- Ordnung: \\(a_\{n+1\} \leq b_n \\), \\(a_\{n+1\} \leq b_\{n+1\} ). (ii) Zeigen: \( \backslash\left(\left(a \_n\right) \backslash\right) \) ist monoton wachsend, \( \bigvee\left(\left(b \_n\right) \bigvee\right. \) ist monoton fallend:
- Monotonie von \( \\left(\left(a \_n\right) \backslash\right): * * \\left(a \_\{n+1\}=\ s q r t\left\{a \_n b \_n\right\} \backslash g e q a \_n \backslash\right) \).
- Monotonie von \( \backslash\left(\left(b \_n\right) \backslash\right):^{* *} \backslash\left(b \_\{n+1\}=\backslash f r a c\left\{a \_n+b \_n\right\}\{2\} \backslash l e q b \_n \backslash\right) \).
(iii) Zeigen: \( \backslash\left(\left(a \_n\right) \backslash\right) \) und \( \backslash\left(\left(b \_n\right) \backslash\right) \) sind konvergent:
- Beschränktheit: \\( 0 \leq a_n \leq b_n \\) für alle \\( \( \mathbf{n ~ \ ) , ~ \ ( ~ ( a \_ n ) ~ \ ) ~ i s t ~ m o n o t o n ~ w a c h s e n d ~} \) und durch \\( b_0 beschränkt, \( \backslash\left(b \_n\right) \backslash \) ist monoton fallend und durch \\( a_0 b) beschränkt. - Existenz der Grenzwerte: \\( \lim \limits_\{n \to Vinfty\} a_n = L_a \\), \\( Uim_\{n \to \infty\} b_n = L_b ), wobei \\( L_a \leq L_b \\).
(iv) Zeigen: \\( Uim_\{n \to Vinfty\} a_n = \lim \limits_\{n \to Vinfty\} b_n \\):

Text erkannt:

Um die Aufgaben (i) bis (iv) zu lösen, analysieren wir die rekursiven Folgen \\( (a_n)_\{n in ［ \( \text { a_\{n+1\} := \sqrt\{a_n b_n\}, \quad b_\{n+1\} := \frac\{a_n + b_n\}\{2\}. } \)
]
(i) Zeigen: \\( 0 \leq a_n Vleq b_n \\) für alle \\( \( \mathbf{n} \) Vin \mathbb\{(N)_0 ):
1. Induktionsanfang \( (\backslash(\mathrm{n}=0 \mathrm{~V}) \) ):

Aus der Voraussetzung \( \backslash\left(0<a \_0<b \_0 \bigcup\right) \) folgt direkt \( \backslash\left(0\right. \) \leq \( a \_0 \) \leq \( b \_0 \) \\).
2. Induktionsschritt:

Angenommen, \\( 0 \leq a_n \leq b_n \\) gilt für ein \( \(n \) \geq 0 ). Wir zeigen, dass dann auch ( 0 \leq a_\{n+1\} \leq b_\{n+1\} ) gilt:
- Nichtnegativität:Da \\(a_n, b_n \geq 0 \\), folgt:

V[
a_\{n+1\} = \sqrt\{a_n b_n\} \geq 0, \quad b_\{n+1\} = \frac\{a_n + b_n\}\{2\} \geq 0.
V]
- Ordnung: Aus \\(a_n Vleq b_n \\) folgt \\( a_n b_n Vleq b_n^2 \\), und daher:

V
\sqrt\{a_n b_n\} \leq \sqrt\{b_n^2\} = b_n \quad \implies \quad a_\{n+1\} \leq b_n.
V]
Weiterhin gilt:
V
b_\{n+1\} = \frac\{a_n + b_n\}\{2\} \geq \( \backslash \) frac \( \left\{a \_n+a \_n\right\}\{2\}=a \_n \backslash q u a d \) Vimplies \( \backslash q u a d a \_\{n+1\} \) Neq b_\{n+1\}.

V]

Answer 1

Geometrischer Beweis zu (i):

Comments

Sehr schön!

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Answer 2

Was du schreibst ist schwer lesbar.

Bekannt sein sollte, dass aus 0<a<b stets folgt:

a<\( \frac{a+b}{2} \)<b

und

a<\( \sqrt{ab} \)<b.

Nach dem Satz über das arithmetische und geometrische Mittel gilt für 0<a<b stets

\( \sqrt{ab} \) < \( \frac{a+b}{2} \).

Die Zusammenfassung der drei Ungleichungen liefert die Reihenfolge

a<\( \sqrt{ab} \) < \( \frac{a+b}{2} \)<b, für die Startwerte also

a₀<\( \sqrt{a_0b_0} \) < \( \frac{a_0+b_0}{2} \)<b_0, also

a₀< a₁ < b₁<b_{0 .}

Wenn du jetzt zwischen a1 und b1 deren geometrisches und arithmetisches Mittel setzt, bekommst du

a0< a1 < a2 < b2< b1<b0 .

Das musst du sauber induktiv formulieren, womit das Wachsen von an und das Fallen von bn gezeigt wäre.

Answer 3

Zu (i):

Zeige \(a_n\ge 0, \, b_n\ge 0\) mit einer sauberen(!) Induktion (Ind.Vor., Ind.Beh., Ind. Schritt).

Damit ist die Folge \(a_n\) überhaupt erstmal wohldefiniert.

Dann zeige \(a_n\le b_n\) durch Quadrieren (warum ist das hier eine Äquivalenzumformung?) und Umstellen (Tipp: bin. Formel).

Wenn Du Deine Rechnung lesbar lieferst, würde ich auch weiterlesen. Mind. scheinen in Deinen Überlegungen schonmal Begründungen zu fehlen.