Aloha :)
Wenn du auf einer Funktion \(f(\vec x)\) entlang gehst, kannst du dich aus verschiedenen Richtungen und auf verschiedenen Wegen der Stelle \(\vec x_0\) nähern.
Im Fall von nur einer Dimenson bzw. einer Variablen \(f(x)\) kannst du dich z.B. dem Punkt \(x_0=0\) von links oder von rechts nähern. Als mögliche Wege von rechts kannst du z.B. wählen:$$x_n=\frac{1}{n}\quad\text{oder}\quad x_n=\frac{1}{n^2}$$\(n\) ist sozusagen die Anzahl der Schritte, die du auf dem Weg gemacht hast. Die Folge muss natürlich gegen \(x_0\) konvergieren, sonst wäre sie kein zulässiger Weg.
Der Grenzwert einer Funktion \(f(\vec x_0)\) an der Stelle \(\vec x_0\) existiert nun, wenn du aus allen möglichen Richtungen und auf allen möglichen Wegen stets auf denselben Funktionswert zuläufst.
Wenn man zeigen möchte, dass ein Grenzwert nicht existiert, kann man oft zwei unterschiedliche Richtungen oder zwei unterschiedliche Wege finden, die zu unterschiedlichen Funktionswerten hinführen.
Wenn man zeigen möchte, dass ein Grenzwert existiert, wählt man gerne den kontinuierlichen Weg \(\vec x\to\vec x_0\). Bei Funktionen mit zwei Veränderlichen kannst du z.B. zu Polarkoordinaten \(\vec x\to\vec x_0+\binom{r\cos\varphi}{r\sin\varphi}\) übergehen. Du legst sozusagen einen Kreis um die fragliche Stelle \(\vec x_0\). Mit der Wahl von \(\varphi\) deckst du alle möglichen Richtungen ab und indem du den Abstand \(r\to0\) auf Null zusammenziehst, näherst du dich kontinuierlich der fraglichen Stelle \(\vec x_0\). Wenn der Grenzwert \(r\to0\) für alle Winkel \(\varphi\in[0;2\pi]\) denselben Wert liefert, ist das der gesuchte Grenzwert der Funktion.
Beispiel 39 ist schlecht gewählt, denn es reicht nicht aus zu zeigen, dass der Grenzwert für einen Weg exisiert, er muss für alle Wege existieren. Betrachte z.B die Funktion:$$f(x)=\sin\left(\frac\pi x\right)$$Wir wollen prüfen, ob der Grenzwert für \(x\to 0\) existiert. Als Weg wählen wir:$$x_n=\frac1n\to0$$Dann gilt für die Funktionswerte:$$f(x_n)=\sin\left(\frac{\pi}{\frac1n}\right)=\sin(n\pi)=0$$Wählen wir aber den Weg$$y_n=\frac{\pi}{n}\to0$$gilt für die Funktionswerte:$$f(y_n)=\sin\left(\frac{\pi}{\frac\pi n}\right)=\sin(n)\to\text{konvergiert nicht}$$Obwohl der Weg \((x_n)\) anscheinend zum Grenzwert \(0\) führt, kommt man auf dem Weg \((y_n)\) nie an einen festen Endpunkt. Daher hat \(f(x)\) keinen Grenzwert für \(x\to0\).
