Erraten Sie die Grenzwerte der Folgen (ak)k∈N

Question

Aufgabe:

Folgengrenzwerte

Problem/Ansatz:

Folgengrenzwerte

Sei 0 ≤ q ≤ 1 und

Text erkannt:

\( a_{k}:=1+\frac{1}{k^{2}}, \quad b_{k}:=\left(1-\frac{1}{k}\right) q^{k}, \quad c_{k}:=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{k} & \text { falls } k \neq 10^{n} \text { für alle } n \in \mathbb{N} \\ \frac{1}{n} & \text { falls } k=10^{n} \text { für ein } n \in \mathbb{N} .\end{array}\right. \)

Erraten Sie die Grenzwerte der Folgen (ak)k∈N, (bk)k∈N und (ck)k∈N und beweisen Sie die
Konvergenz.

// Kommentar;

Ich denke, bei a_k und b_k ist zu beachten, dass 1/k², 1/k und q^k kleiner werden, wenn k größer wird (es sei denn, q=1, man muss dort eine Fallunterscheidung treffen), das sollte helfen, die Grenze zu erraten. Ich dachte, ich kann für c_k im zweiten Fall n=log10(k) einsetzen und dann k ≥ log10(k) verwenden, um zu finden;

0≤c_k≤  1/ log₁₀(k)

Aber ich wusste nicht, was ich für die Antwort weiter tun sollte. Ich freue mich, wenn Sie helfen.

LG

Answer 1

Hallo

ja, wegen 1/k^2 und 1/k gegen 0 gehen die Klammern gegen 1, und bk gegen oo hängt von q<1,q=1,q>1 ab.

c) egal was k ist das ist eine Nullfolge, da muss kein log dafür her.

du kannst es in 2 Teilfolgen teilen eine mit k=10^n und eine ohne die k. beide konvergieren gegen 0 also auch die folge selbst.