Wahrscheinlichkeitsrechnung: Wie hat der Gefangene möglichst hohe Chance auf Freilassung?

Question

Ein Gefangener bittet um Gnade.

Sein Gefängniswächter macht im Hoffnung auf die Freiheit:

Er bringt ihm zwei Urnen 12 weisse und 12 schwarze Kugeln. Der Gefangene soll diese 24 kugeln auf die beiden Urnen verteilen. Dann wird der Wächter eine der Urnen per Zufall auswählen und aus dieser Urne, ebenfalls zufällig, eine Kugel ziehen! Wenn die Kugel weiss ist, soll der gefangene freigelassen werden! Wie muss der Gefangene die Kugeln auf die Urnen verteilen, damit seine Chance auf Freilassung möglichst gross ist? Berechnet für diesen Fall die Wahrscheinlichkeit, dass er frei kommt?

Answer 1

Ein gefangener bittet um gnade. Sein gefangniswacher macht im hoffnung auf die freiheit: er bringt ihm zwei urnen 12 weise 12 schwarze kugeln. Der gefangene soll diese 24 kugeln auf die beiden urnen verteilen. Dann ird der wacher eine der urnen per zugall auswahlen und aus dieser urne ebenfalls zufallig eine kugel zihen! Wenn die kugel weis ist, sill der gefangene freigelassen werden! Wie muss der gefangene die kugeln auf die urnen verteilen, danit seine chance auf freilassung mogischst gros ist? Berechnet fur diesen fall die wahrscheinlichkeit das er frei kommt?

In die erste Urne kommt nur eine weiße Kugel und in die andere Urne kommen 11 weiße und 12 schwarze Kugeln.

Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit freizukommen:

P = 0,5 * 1/1 + 0,5 * 11/23 = 17/23 = 0,739 = 73,9%

Comments

Ausfuhrlicher bitte

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Ich gehe mal zu Anfang von einer Urne mit 12 weißen Kugeln und einer Urne mit 12 schwarzen Kugeln aus.

Jetzt beträgt die Wahrscheinlichkeit frei zu kommen

0,5 * 12/12 + 0,5 * 0/12 = 0,5

Ich überlege was ich verändern muss. Wenn ich weiße Kugeln aus der einen Urne in die andere Urne lege steigt die Wahrscheinlichkeit in der Urne mit den schwarzen Kugeln bleibt aber in der weißen gleich.

 0,5 * 1/1 + 0,5 * 11/23 = 0,739.

Nun frage ich mich ob ich die Wahrscheinlichkeit noch weiter steigern kann indem ich schwarze Kugeln in die weiße lege. Auch das ist nicht der Fall.

Daher ist dieses das vermutete Maximum. Man kann das auch um es einfacher zu machen zunächst mit 3 weißen und 3 schwarzen Kugeln durchspielen.

Je mehr Kugeln (Anzahl weiß = anzahl schwarz) ich benutze desto mehr nähert sich die wahrscheinlichkeit frei zu kommen der 0,75 an. In der einen Urne habe ich immer die Wahrscheinlichkeit 1 und ans Grenzwert in der zweiten Urne die Wahrscheinlichkeit von 0,5.

Also 0,5 * 1 + 0,5 * 0,5 = 0,5 + 0,25 = 0,75.