Steckbriefaufgabe zu einer Funktion 3. Grades

Question

Aufgabe:

Ein Polynom 3. Grades hat bei x = -1 eine Wendestelle und bei x = 1 eine Extremstelle. Die Wendetangente hat die Gleichung

tw: 3x-2y=-1.

Berechne den Funktionsterm?

Ich habe keinen Ansatz wie ich es lösen könnte.

MfG

Answer 1

Hallo

f(x)=ax^3+bx^2+cx+d

 1. bilde f' und f''

dann1. f'(-1)=0,

2- f''(-1)=0 ,

3. f'(-1)= 3/2 denn Wendetangente y=3/2x+1/2  Steigung 3/2

y(-1)=2   deshalb  4.  f(-1)=2  den f und y müsse ja an dem Wendepunkt den selben Wert haben

damit hast du 4 Gleichungen für a,b,c,d

Gruß lul

Comments

Danke schön :)

Answer 2

Hallo,

eine Funktion 3. Grades und ihre Ableitungen sind

\( f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d \)
\( f^{\prime}(x)=3 a x^{2}+2 b x+c \)
\( f^{\prime \prime}(x)=6 a x+2 b \)

Aus den Angaben zur Wende- und Extremstelle ergeben sich die Aussagen

\( f^{\prime \prime}(-1)=0 \Rightarrow-6 a+2 b=0 \)
\( f^{\prime}(1)=0 \Rightarrow 3 a+2 b+c=0 \)

Forme die Gleichung der Wendetangente um, damit du die Steigung ablesen kannst.

\( y=1,5 x+0,5 \)

Das ergibt

\( f^{\prime}(-1)=1,5 \Rightarrow 3 a-2 b+c=1,5 \)

Die y-Koordinate des Schnittpunktes kannst du mit der Tangentengleichung bestimmen.

\( y=1,5 x+0,5 \)
\( y=1,5 \cdot(-1)+0,5 \)
\( y=-1,5+0,5=-1 \)

Daraus ergibt sich die 4. Gleichung des Gleichungssystems:

\( f(-1)=-1 \Rightarrow-a+b-c+d=-1 \)

Jetzt brauchst du "nur noch" a, b, c und d mit Hilfe dieses Systems zu bestimmen.

Gruß, Silvia