Untersuche die folgenden Ausdrücke auf Konvergenz!

Question

Aufgabe:

Ich habe folgende Aufgabe:

Ich soll bestimmen, ob die folgenden Ausdrücke konvergent oder divergent sind, sie beziehen sich immer auf die Summe von 1 bis unendlich:

1) (k/(k+1))^k²

2) k-te Wurzel aus x -1

Problem/Ansatz:

Zu 2) Ich dachte ich forme mal um und schreibe x^(1/k) -1 und wende dann vl. den Logarithmus an?

Zu1) hier dachte ich nur an das Wurzelkriterium, aber wie weiß ich nicht

Answer 1

Ist es so ?

\(  (\frac{k}{k+1})^{k^2}   \)

Dann gilt für die Folge der Summanden:

\( a_k= (\frac{k+1-1}{k+1})^{k^2}  = (1+\frac{-1}{k+1})^{k^2} = ((1+\frac{-1}{k+1})^{k})^k  \)

Aber \( (1+\frac{-1}{k+1})^{k} \) geht gegen e^(-1) , ist also ab einem gewissen k

sicherlich immer kleiner als 0,5 .

Und somit   \( ((1+\frac{-1}{k+1})^{k})^k < 0,5^k \) und geht also gegen 0.

Nun muss noch die Konvergenz der Reihe betrachtet werden.

Und die k-te Wurzel aus |a_k| ist \( (1+\frac{-1}{k+1})^{k} \)

das geht (s.o.) gegen e^(-1) , also gegen einen GW < 1,

somit ist die Reihe konvergent.

Comments

Und da es also gegen null geh, ist damit gezeigt, dass es konvergent ist! Stimmt, an das das ich dies umschreiben kann, habe ich gar nicht gedacht, dann benötige ich ja gar kein wurzelkriterium:-)

Hast du vl noch einen Tipp für das andere Beispiel?

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Das sagt aber nichts über die Konvergenz der entsprechenden Reihe aus.

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Aber wieso nicht?

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Kann man auch das ganze hoch n nehmen und dann das wurzelriterium anwenden?

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Das mit der Reihe hatte ich gar nicht gelesen, ich dachte es

ging um die Konvergenz der Folge.

Du hast also nur: Die Beträge der Reihenglieder gehen

gegen 0, also KÖNNTE die Reihe konvergent sein.

Da muss man dann in der Tat noch ein Kriterium für

Konvergenz von Reihen anwenden.

Hab ich ergänzt.

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Kann man dein Kriterium dann auf deine obigen Umformung anwenden, also das Wurzelkriterium und hätte dann die Konvergenz gezeigt?

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Genau das meine ich.

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Ok super, dann werd ich das gleich machen.

Kannst du mir vielleicht auch bei dem anderen Beispiel helfen oder einen Tipp geben?

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Geht es darum zu überlegen:

Für welche x konvergiert die Reihe ?

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Ich soll zeigen ob die Reihe konvergent ist,dafür muss ich hier denke ich eine fallunterscheidung machen