Ist es so ?
\( (\frac{k}{k+1})^{k^2} \)
Dann gilt für die Folge der Summanden:
\( a_k= (\frac{k+1-1}{k+1})^{k^2} = (1+\frac{-1}{k+1})^{k^2} = ((1+\frac{-1}{k+1})^{k})^k \)
Aber \( (1+\frac{-1}{k+1})^{k} \) geht gegen e^(-1) , ist also ab einem gewissen k
sicherlich immer kleiner als 0,5 .
Und somit \( ((1+\frac{-1}{k+1})^{k})^k < 0,5^k \) und geht also gegen 0.
Nun muss noch die Konvergenz der Reihe betrachtet werden.
Und die k-te Wurzel aus |ak| ist \( (1+\frac{-1}{k+1})^{k} \)
das geht (s.o.) gegen e^(-1) , also gegen einen GW < 1,
somit ist die Reihe konvergent.