Ableitung berechnen von folgender Funktion

Question

Aufgabe:

Erste Ableitung berechnen

Problem/Ansatz:

Liebe Community,

ich bitte euch mal wieder um Hilfe :)
ich benötige den Lösungsweg der ersten Ableitung der folgenden Funktion:

ln(\( \sqrt{x^3+x^2} )\)
Vielen Dank!

Comments

Es gilt:

f(x) = ln g(x) -> f '(x) = g'(x)/g(x)

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Am einfachsten wird sein: \(\displaystyle\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\ln\sqrt{x^3+x^2}=\frac12\cdot\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\ln(x^3+x^2)=\frac12\cdot\frac{3x^2+2x}{x^3+x^2}=\frac{3x+2}{2x^2+2x}\).

Answer 1

Kettenregel anwenden: ln(z) hat als Ableitung 1/z, also

hier

f ' (x) =  \(\frac{1}{ \sqrt{x^3+x^2} } mal Ableitung von \sqrt{x^3+x^2}      \)

=  \(\frac{1}{ \sqrt{x^3+x^2} }   \cdot \frac {1}{2 \sqrt{x^3+x^2}  }mal Ableitung von {x^3+x^2}      \)

=  \(\frac{1}{ \sqrt{x^3+x^2} }  \cdot \frac {1}{2 \sqrt{x^3+x^2}  } \cdot (3x^2+2x)      \)

Kannst du noch was zusammenfassen !

Comments

Tipp: \(\ln\sqrt{x}=\tfrac12\ln x\).

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Wieso wird x^3+x^2 abgeleitet? die innere Ableitung ist doch \( \sqrt{x^3+x^2} \) ist doch ?

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\( \sqrt{x^3+x^2} \)  ist doch auch eine Verkettung:

√z ist die äußere Funktion und   z=x^3+x^2 die innere.

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\( \sqrt{x^3+x^2} \) steht doch in der Klammer. Das müsste doch dann die innere Funktion sein wenn man nach der Kettenregel geht? Diese innere Funktion wird dann abgeleitet und die äußere Funktion ist doch dann der ln der 1/x als Ableitung hat. Deswegen verstehe ich leider noch nicht warum x^3 + x^2 abgeleitet wird. :/

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\( \sqrt{x^3+x^2} \)  steht doch in der Klammer. Das müsste doch dann die innere Funktion sein wenn man nach der Kettenregel geht?

Völlig richtig !

Aber diese innere Funktion ist ja selber auch wieder eine Verkettung und

dabei ist √z die äußere Funktion und z=x^3+x^2 die innere.

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Danke für die ausführliche Erklärung :) Habs jetzt verstanden.

Schönen Abend noch :)