Abschätzung der Logarithmus- und Wurzelfunktion

Question

ich weiß leider nicht, wie folgende Abschätzung zeigen soll:

Sei \(t>0\) und \(n \in \mathbb{N}\). Zeige, dass für festes und positives \(\alpha, \sigma^2 >0\) die Abschätzung

\(\limsup_{t \to \infty} \frac{\alpha \sqrt{t+n}}{\sqrt{2t \sigma^2 \log \log(t)}}<1\)

Comments

Hallo,

die Fragestellung finde ich etwas merkwürdig; denn

$$\frac{t+n}{t\ln(\ln(t))} \to 0, t \to \infty$$

Gruß

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@mathhilf:

Falls dieser Limes nicht gleich null, sondern positiv wäre, könnte auch der gefragte limes superior nicht ganz unabhängig vom Wert von α kleiner als 1 sein ! Oder mit anderen Worten:  der limes superior ist nicht bloß kleiner als 1, sondern ebenfalls gleich null !

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@ rumar,

Ja, insofern ist die Frage nach einem limes superior merkwürdig, wenn doch der "einfache" Limes schon 0 ist. Mal sehen, ob das Fragesteller noch interessiert.

Gruß Mathhilf

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Vielen Dank für dem Hinweis. Ja der Limes würde bereits ausreichen.

Aber wie könnte ich zeigen, dass

\(\lim_{t \to \infty} \frac{\sqrt{t+n}}{\sqrt{2t \sigma^2 \log \log(t)}}=0\)

ist???

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Wenn es einfach technisch ablaufen soll: Vergiss die Wurzeln und wende l'Hospital an.

Gruß Mathhilf