\( \mathrm{e}^{y^{2}}-\mathrm{e}^{x^{2}} \leq \mathrm{e}^{y^{2}}(y-x)(y+x) \)
Es ist ja y>1 also sicherlich \( \mathrm{e}^{y^{2}} > 0 \) und so kann
man dividieren und bekommt
<=> \( 1- \frac {\mathrm{e}^{x^{2}}}{\mathrm{e}^{y^{2}}} \leq (y-x)(y+x) \)
<=> \( 1- \mathrm{e}^{x^{2}-y^2} \leq y^2-x^2 \)
<=> \( 1 \leq y^2-x^2 + \mathrm{e}^{x^{2}-y^2} \)
Und weil y^2 - x^2 > 0 ist, muss man nur noch zeigen,
für alle z>0 gilt z + e-z ≥ 1.
Das gelingt, indem man das absolute Minimum
der Funktion f(z) = z + e-z berechnet.
Das liegt bei z=0 und hat den Wert 1.