Zeigen Sie die folgenden Abschätzung:

Question

Aufgabe:

(b) Seien \( x, y \in \mathbb{R} \) mit \( 1<x<y \). Zeigen Sie die folgenden Abschätzung:
(i) \( \mathrm{e}^{y^{2}}-\mathrm{e}^{x^{2}} \leq \mathrm{e}^{y^{2}}(y-x)(y+x) \),
(ii) \( y^{2} \log (y)-x^{2} \log (x) \leq y(1+2 \log (y))(y-x) \).

Problem/Ansatz:

Hallöchen,
ich hab bei dieser kleinen Aufgabe paar Schwierigkeiten. Vor allem, weiss ich nicht genau, wie ich die lösen soll. Bei der (i) ist mein Grundidee, dass man alles vor dem ≤ nach rechts berechnet und somit ein Resultat 0 ≤ bekommt. Dann am besten alle e (epsilon) in ein Logarithmus umwandeln und damit x und y rausfinden anhand einer Vorzeichentabelle. Falls dies stimmt, ist meine Theorie richtig, aber um es umzusetzen, fehlt es mir irgendwie an wissen. Ich komme da nicht richtig voran.

Bei der (ii) wäre meine Idee irgendwie mithilfe von umformungen des Logarithmus ein Resultat rauszubekommen, aber mehr weiss ich auch nicht.

Ich bedanke mich für eure Hilfe

Comments

Hallo, auch hier könnte man die Produktregel füt den Log und /oder die dritte binomische Form anwenden.

Answer 1

\( \mathrm{e}^{y^{2}}-\mathrm{e}^{x^{2}} \leq \mathrm{e}^{y^{2}}(y-x)(y+x) \)

Es ist ja y>1 also sicherlich \( \mathrm{e}^{y^{2}} > 0  \) und so kann

man dividieren und bekommt

<=> \( 1- \frac {\mathrm{e}^{x^{2}}}{\mathrm{e}^{y^{2}}} \leq (y-x)(y+x) \)

<=> \( 1-  \mathrm{e}^{x^{2}-y^2}  \leq  y^2-x^2  \)

<=> \( 1  \leq y^2-x^2 +  \mathrm{e}^{x^{2}-y^2} \)

Und weil y^2 - x^2 > 0 ist, muss man nur noch zeigen,

für alle z>0 gilt z + e^-z ≥ 1.

Das gelingt, indem man das absolute Minimum

der Funktion f(z) = z + e^-z berechnet.

Das liegt bei z=0 und hat den Wert 1.