Abschätzung von Operatoren

Question

ich verstehe eine Ungleichung nicht. Kann Sie mir jemand erklären bzw. beweisen?

Für einen Operator \(T: X \to Y\) gilt stets für alle \(x \in X\):

\(\|Tx\|_Y \leq \|T\|_{op} \|x\|_X\)

Comments

Werden da nicht noch genauere Voraussetzungen genannt? Abbildungen? Räume?

Answer 1

Hallo,

es gilt \(||T||_\text{op}:=\sup \{ ||Tx||_Y ; x\in X : ||x||_X\leq 1 \}\)). Aus der Linearität von \(T\) folgt, dass die Bedingung \(||x||_X \leq 1\) auch durch \(||x||=1\) ersetzt werden kann. Weiter ist dann \(T\left(\frac{x}{||x||_X}\right)=\frac{Tx}{||x||_X}\) und damit:$$||T||_\text{op}=\sup \left \{\frac{||Tx||_Y}{||x||_X}  ; x\in X , x\neq 0\right \} \quad (*)$$ Aus dieser Darstellung folgt unmittelbar, dass \(||Tx||_Y\leq ||Tx||_\text{op} \cdot ||x||_X\) für alle \(x\in X\).

Übrigens lässt die Darstellung in \((*)\) die reelle Zahl \(||T||_\text{op}\) als größten Streckungsfaktor der linearen Abbildung \(T\) zu interpretieren