Abschätzung von Integralen

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Folge \( \left(y_{i}\right)_{i \in \mathbb{N}} \) mit
\(y_{i}=\frac{1}{e} \int \limits_{0}^{1} e^{x} x^{i} d x\)

Zeigen sie die Abschätzungen

\(\frac{1}{e(i+1)}<y_{i}<\frac{1}{i+1} \quad \text { und } \quad y_{i+1}<y_{i}\)

Problem/Ansatz:

nicht weiß, wie Abschätzung von Integralen funktioniert.

Comments

y_i=(-1)^i/e*(!ie-i!)

Answer 1

Hallo
benutze \( \int\limits_{0}^{1} e^x*x^n=e^x*x^n|^1_0-1/n*\int\limits_{0}^{1} e^x*x^{n-1}\)
dann benutze Induktion

1/n durch n ersetzten danke nannosec
lu

Comments

ist es nicht so, dass

\( \int e^{x} x^{n}=e^{x} x^{n}-\int e^{x} \). n \( x^{n-1} \)

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Danke für die Verbesserung! ja n statt 1/n

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hast dann Vorschläge wie es dann weitergeht?
nochmal partiell Integration von

\( n. \int e^{x} \). \( x^{n-1} \)

aber man kommt glaube ich so nicht weiter

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addiere y_n+n*y_n-1

_lul

Answer 2

Da e^x im Intervall [0;1] vom positiven Anfangswert e^0=1 auf den positiven Endwert e^1=e wächst, gilt für dieses Intervall die Abschätzung

\(\frac{1}{e} \int \limits_{0}^{1} \red{1}\cdot x^{i} d x\) < \(\frac{1}{e} \int \limits_{0}^{1} \red{e^{x}}\cdot x^{i} d x\) < \(\frac{1}{e} \int \limits_{0}^{1} \red{e}\cdot x^{i} d x\), also

\(\frac{1}{e}\cdot (\frac{1}{i+1}-\frac{0}{i+1})\)< \(\frac{1}{e} \int \limits_{0}^{1} \red{e^{x}}\cdot x^{i} d x\) <\(\frac{1}{e}\cdot (\frac{e}{i+1}-\frac{0}{i+1})\).

Irgendwie dürfte das die Behauptung sein...

;-)

Comments

abakus, schnell auf den Punkt gebracht.

Danke sehr ;-)