Nach einsetzen der Rekursionswerte muss folgendes bewiesen werden
$$ \frac{a_n + b_n}{2} - \sqrt{a_n b_n} \le \frac{1}{8a} (a_n - b_n)^2 $$
Der Ausdruck kann wie folgt umgeformt werden
$$ \left( \sqrt{a_n} - \sqrt{ b_n } \right)^2 \le \frac{1}{4a} (b_n -a_n)^2 $$ Multiplikation beider Seiten mit \( \left( \sqrt{a_n} + \sqrt{ b_n } \right)^2 \) führt zu
$$ (a_n - b_n)^2 \le \frac{1}{4a} (b_n-a_n)^2 \left( \sqrt{a_n} + \sqrt{ b_n } \right)^2 $$ Also zu
$$ 4a \le \left( \sqrt{a_n} + \sqrt{ b_n } \right)^2 = a_n + 2 \sqrt{a_n b_n} + b_n $$
Und wegen \( a \le a_n \), \( a \le b_n \) und \( a \le \sqrt{a_n b_n } \) ist die letzte Aussage richtig und damit auch die Ungleichung bewiesen.
