Bestimmen Sie alle Lösungen des linearen Systems

Question

1. Bestimmen Sie alle Lösungen des linearen Systems

 

{3x+2y+6z=a

{4x+5y+12z=b

{2x+2y+5z=c

 

2. Seien x, y, z  ∈ R mit x > 0, y > 0 und z > 0. Bestimmen Sie alle Lösungen des Systems

{x³y²z⁶=1

{x⁴y⁵z¹²= 2

{x²y²z⁵=3

Answer 1

1.

[3, 2, 6, a]
[4, 5, 12, b]
[2, 2, 5, c]

II' = 4*I - 3*II
III' = 2*I - 3*III

[3, 2, 6, a]
[0, -7, -12, 4·a - 3·b]
[0, -2, -3, 2·a - 3·c]

III' = 2*II - 7*III

[3, 2, 6, a]
[0, -7, -12, 4·a - 3·b]
[0, 0, -3, - 6·a - 6·b + 21·c]

I' = I + 2*III
II' = II - 4*III

[3, 2, 0, - 11·a - 6·(2·b - 7·c)]
[0, -7, 0, 28·a + 21·(b - 4·c)]
[0, 0, -3, - 6·a - 6·b + 21·c]

I' = 7*I + 2*II

[21, 0, 0, - 21·(a + 2·(b - 3·c))]
[0, -7, 0, 28·a + 21·(b - 4·c)]
[0, 0, -3, - 6·a - 6·b + 21·c]

 

[1, 0, 0, -a - 2b + 6c]
[0, 1, 0, - 4a - 3b + 12c]
[0, 0, 1, 2a + 2b - 7c]

x = -a - 2b + 6c
y = - 4a - 3b + 12c
z = 2a + 2b - 7c

Comments

Sauber, danke dir. Könntest du die Zwei eventuell auch noch machen?

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Könnte mal jemand einen Ansatz zu 2 machen?

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So wie man bei linearen Gleichungen multiplizieren und addieren muss, muss man bei Potenzgleichungen Potenzieren und dividieren bzw. multiplizieren.

x^3 * y^2 * z^6 = 1
x^4 * y^5 * z^12 = 2
x^2 * y^2 * z^5 =3

II^3 / I^4
III^3 / I^2

y^7 * z^12 = 8
y^2 * z^3 = 27

II^4 / I

y = 531441/8

(531441/8)^2 * z^3 = 27
z = 4/2187

x^3 * (531441/8)^2 * (4/2187)^6 = 1
x = 729/4

Lösung ist also:

x = 729/4
y = 531441/8
z = 4/2187