Taylorentwicklung für tan(x) um x0=0

Question

Hallo :) Ich möchte verstehen, wie die Taylorentwicklung für die tan(x) zustande kommt.

allg. gilt \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{n} \) ((f⁽ⁿ⁾ *x₀)/n! )* (x-x₀ )^n

ich habe gefunden, dass die Taylorentwicklung für tan(x) 0+x+0x²+1/3x³+...lautet

was ich nicht verstehe ist wie man die Werte berechnet

z.B.: (f'(1) / 1!) * x(x-0)⁰ 

die 1. Ableitung der Funktion lautet ja 1/cos^2(x)
also muss erstmal ich 1 in die 1. Ableitung einsetzen: 1/cos²(1)

der 2. Wert (der 1. ist ja 0) der Entwicklung wäre dann 1/cos²(1) x^1

und hier fängt mein Problem an...wie komme ich auf 1/cos²(1) = 1?

für den 3. Wert sieht es noch schlechter aus, weil die 2. Ableitung (2/(cos²(x)) *tan(x) lautet

wie (2/(cos²(x)) *tan(x) = 0 wird verstehe ich gar nicht

Ich glaube, dass es etwas gibt, das ich wissen sollte, um zu verstehen, wie die Werte berechnet werden. Gibt es da irgendwelche Regeln, die ich kennen sollte?

Answer 1

also muss erstmal ich 1 in die 1. Ableitung einsetzen:

Wieso? Dein Thema lautet

Taylorentwicklung für tan(x) um x0=0

und nicht

Taylorentwicklung für tan(x) um x0=1.

Comments

ach ja wenn ich 0 statt 1 einsetze geht es...danke! cos(0) ist ja 1 und 1/1=1...und (2/cos(0) )*tan(0) ist dann 0 weil tan(0)=0

Answer 2

Es gibt keine direkte Formel für den \( n \) ten Term der Taylorreihe, welcher nur elementare Funktion umfasst. Hier mal ein Ansatz, ihn mithilfe einer Rekurrenz zu bestimmen:
\(\begin{aligned} \tan (x)=\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \Longleftrightarrow \tan (x) \cos (x)=\sin (x) .\end{aligned}\)
Wir kennen ja die Taylorreihen für \( \sin (x) \) und \( \cos (x) \) und wissen, dass tan \( (x) \) eine ungerade Funktion ist, also muss
\(\begin{aligned} \tan (x)=\sum \limits_{k=0}^{\infty} a_{k} x^{2 n+1}\end{aligned}\)
gelten, was wir in die obige Gleichung einsetzen können und erhalten
\(\begin{aligned} \left(\sum \limits_{k=0}^{\infty} a_{k} x^{2 k+1}\right)\left(\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{(2 k) !} x^{2 k}\right)=\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{(2 k+1) !} x^{2 k+1}\end{aligned}\)
Wegen der absoluten Konvergenz der Taylorreihe der Kosinusfunktion ist die linke Seite gleich ihrem Cauchyprodukt, und somit
\( \begin{aligned} & \sum \limits_{n=0}^{\infty} \sum \limits_{k=0}^{n} \frac{(-1)^{k}}{(2 k) !} a_{n-k} x^{2(n-k)+1} x^{2 k}=\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{(2 k+1) !} x^{2 k+1} \\ & \Longleftrightarrow \sum \limits_{n=0}^{\infty}\left(\sum \limits_{k=0}^{n} \frac{(-1)^{k}}{(2 k) !} a_{n-k}\right) x^{2 n+1}=\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{(2 k+1) !} x^{2 k+1} \end{aligned} \)
Wir können also den \( n \) ten Koeffizienten der Reihe finden, indem wir
\(\begin{aligned} \sum \limits_{k=0}^{n} \frac{(-1)^{k}}{(2 k) !} a_{n-k}=\frac{(-1)^{k}}{(2 k+1) !}\end{aligned} \)
lösen. Für \( n=0 \) ergibt sich \( a_{0}=1 \) womit wir die allgemeine Rekurrenz
\(\begin{aligned} a_{n}=\frac{(-1)^{k}}{(2 k+1) !}-\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k}}{(2 k) !} a_{n-k}\end{aligned} \)
erhalten.