Bestimmen Sie alle stationären Verteilungen

Question

Aufgabe:

Sei M = {1,2,3,4,5,6} und p =(1/4)*$\begin{pmatrix} 1&1&1&0&1&0\\ 0&1&0&0&3&0\\2&1&0&1&0&1\\0&0&4&0&0&0\\0&2&0&0&0&2\\0&1&0&0&2&1\end{pmatrix}$

Bestimmen Sie alle stationären Verteilungen unter Verwendung von Satz 3.5.11 (siehe Bild)

Text erkannt:

Satz 3.5.11: Sei $M=M_{0} \cup M_{1} \cup M_{2} \cup \ldots$ die Standardzerlegung für eine MK.
(a) Ist $\mu$ eine stationäre Verteilung für die MK, so gilt $\mu=\sum \limits_{i \in I} c_{i} \mu_{i}$. Hierbei ist $I \subseteq\{1,2, \ldots\}, c_{i} \geq 0$ mit $\sum \limits_{i \in I} c_{i}=1$ und $\mu_{i}$ eine stationäre Verteilung auf $M_{i} .$
(b) Ist umgekehrt $I \subseteq\{1,2, \ldots\}, c_{i} \geq 0$ mit $\sum \limits_{i \in I} c_{i}=1$ und $\mu_{i}$ eine stationäre Verteilung auf $M_{i}$, so ist $\mu:=\sum \limits_{i \in I} c_{i} \mu_{i}$ eine stationäre Verteilung auf $M$.

Beweis: (a) Sei $\mu$ stationär. Für $x \in M_{0}$ ist dann $\mu(x)=0 .$ Ist $M_{i}$ eine Komponente mit $\mu\left(M_{i}\right)>0$, so setzt man $c_{i}:=\mu\left(M_{i}\right)$ und $\mu_{i}(x):=\frac{1}{\mu\left(M_{i}\right)} \mu(x)$ für $x \in M_{i} . \mu_{i}$ ist dann eine stationäre Verteilung auf $M_{i}$. Ferner ist $\mu=\sum \limits_{i \in I} c_{i} \mu_{i}$. (b) folgt sofort aus der Definition der stationären Verteilung. (Details: Hausaufgabe!).

Comments

Kann mir niemand helfen oder einen Ansatz geben?