Aufgabe:
Sei M = {1,2,3,4,5,6} und p =(1/4)*\( \begin{pmatrix} 1&1&1&0&1&0\\ 0&1&0&0&3&0\\2&1&0&1&0&1\\0&0&4&0&0&0\\0&2&0&0&0&2\\0&1&0&0&2&1\end{pmatrix} \)
Bestimmen Sie alle stationären Verteilungen unter Verwendung von Satz 3.5.11 (siehe Bild)
Text erkannt:
Satz 3.5.11: Sei \( M=M_{0} \cup M_{1} \cup M_{2} \cup \ldots \) die Standardzerlegung für eine MK.
(a) Ist \( \mu \) eine stationäre Verteilung für die MK, so gilt \( \mu=\sum \limits_{i \in I} c_{i} \mu_{i} \). Hierbei ist \( I \subseteq\{1,2, \ldots\}, c_{i} \geq 0 \) mit \( \sum \limits_{i \in I} c_{i}=1 \) und \( \mu_{i} \) eine stationäre Verteilung auf \( M_{i} . \)
(b) Ist umgekehrt \( I \subseteq\{1,2, \ldots\}, c_{i} \geq 0 \) mit \( \sum \limits_{i \in I} c_{i}=1 \) und \( \mu_{i} \) eine stationäre Verteilung auf \( M_{i} \), so ist \( \mu:=\sum \limits_{i \in I} c_{i} \mu_{i} \) eine stationäre Verteilung auf \( M \).
Beweis: (a) Sei \( \mu \) stationär. Für \( x \in M_{0} \) ist dann \( \mu(x)=0 . \) Ist \( M_{i} \) eine Komponente mit \( \mu\left(M_{i}\right)>0 \), so setzt man \( c_{i}:=\mu\left(M_{i}\right) \) und \( \mu_{i}(x):=\frac{1}{\mu\left(M_{i}\right)} \mu(x) \) für \( x \in M_{i} . \mu_{i} \) ist dann eine stationäre Verteilung auf \( M_{i} \). Ferner ist \( \mu=\sum \limits_{i \in I} c_{i} \mu_{i} \). (b) folgt sofort aus der Definition der stationären Verteilung. (Details: Hausaufgabe!).
