Vergangene Verteilungen berechnen v(-1)?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Vergangene Verteilung
Bei einer vorgegebenen Matrix \( M \) und einer Verteilung \( \overrightarrow{v_{0}} \) kannst du bisher die Verteilung nach einem Durchlauf berechnen, indem \( \operatorname{du} M \cdot \overrightarrow{v_{0}}=\overrightarrow{v_{1}} \) berechnest.

Man kann damit auch die vergangene Verteilung \( \overrightarrow{v_{-1}} \) berechnen. Also die Verteilung, die vor \( \overrightarrow{v_{0}} \) vorlag.
Dafür stellt man folgende Gleichung auf:
$$ M \cdot \overrightarrow{v_{-1}}=\overrightarrow{v_{0}} $$
Aufgabe 1
Berechne die Verteilung \( \overrightarrow{v_{-1}} \).
$$ M=\left(\begin{array}{lll} 0,5 & 0,2 & 0,3 \\ 0,2 & 0,6 & 0,3 \\ 0,3 & 0,2 & 0,4 \end{array}\right), \quad \overrightarrow{v_{0}}=\left(\begin{array}{c} 100 \\ 150 \\ 90 \end{array}\right) $$

Problem/Ansatz:

Hallo,

wir haben dieses Thema neu begonnen. Leider weiß nicht wie ich v-1 berechnen soll. Muss ich vielleicht M:v0 rechnen, weil in der Formel v0 und nicht v-1 aus.

= Welche Formel mus ich verwenden??

Ps: das mit m:v0 geht leider nicht

Könnt ihr mir bitte weiterhelfen? Ich komme nicht mehr weiter

!!

Answer 1

Aloha :)

Wir müssen das folgende Gleichungssystem lösen:

$$\left(\begin{array}{rrr}0,5 & 0,2 & 0,3\\0,2 & 0,6 & 0,3\\0,3 & 0,2 & 0,4\end{array}\right)\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}100\\150\\90\end{pmatrix}$$

Dazu wählen wir das Gauß-Verfahren:$$\begin{array}{rrr|r|l}x_1 & x_2 & x_3 & = & \text{Aktion}\\\hline0,5 & 0,2 & 0,3 & 100 &\cdot\,2\\0,2 & 0,6 & 0,3 & 150 &\cdot\,5\\0,3 & 0,2 & 0,4 & 90 &\cdot\,10\\\hline1 & 0,4 & 0,6 & 200 &\\1 & 3 & 1,5 & 750 &-\text{Zeile 1}\\3 & 2 & 4 & 900 &-3\cdot\text{Zeile 1}\\\hline1 & 0,4 & 0,6 & 200 &-\frac{1}{2}\cdot\text{Zeile 3}\\0 & 2,6 & 0,9 & 550 &-3\cdot\text{Zeile 3}\\0 & 0,8 & 2,2 & 300 &\\\hline1 & 0 & -0,5 & 50& \\0 & 0,2 & -5,7 & -350 &\cdot\,5\\0 & 0,8 & 2,2 & 300 &-4\cdot\text{Zeile 2}\\\hline1 & 0 & -0,5 & 50& \\0 & 1 & -28,5 & -1750 &+\text{Zeile 3}\\0 & 0 & 25 & 1700 &:\,25\\\hline1 & 0 & -0,5 & 50&+\frac{1}{2}\cdot\text{Zeile 3} \\0 & 1 & -3,5 & -50 &+3,5\cdot\text{Zeile 3}\\0 & 0 & 1 & 68 &\\\hline1 & 0 & 0 & 84&\\0 & 1 & 0 & 188 &\\0 & 0 & 1 & 68 &\\\hline\hline\end{array}$$Wir haben damit den Vorgänger-Zustand berechnet:$$\vec v_{-1}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}84\\188\\68\end{pmatrix}$$