Erwartungswert stetiger Verteilungen

Question

Ich rechne gerade alte Klausuren und habe folgende Aufgabe:

"Die Stadt Hamburg wird aufgrund eines neu gebauten Konzertsaales, welcher derzeit 8.5m über dem Meeresspiegel liegt, nervös. Man geht davon aus, dass die Veränderung Y des Wasserstandes in Hamburg [in m] bis zum Jahr 2100 in Abhängigkeit von X gegeben ist durch Y = 3X + 0.25. Berechnen Sie E(Y)."

Wenn E(Y) bei stetigen Verteilungen gegeben ist durch

$$\int \limits_{-∞}^{∞}y*p(y)$$

Kann ich dann annehmen, X sei 8.5 und wie folgt einsetzen, da 3(8.5)+0,25 = 25,75:

$$\int \limits_{8,5}^{25,75}y*(3x+0,25)$$

Kann man den Ansatz so machen?

Edit: μ = 1.2, σ = 0.4, Nμ,σ² verteilt

Comments

Kann ich dann annehmen, X sei 8.5

Ein großes X ist im Kontext der Aufgabe eine Zufallsgröße. War über diese Zufallsgröße keine Angabe in der Aufgabe oder hast du vergessen das mitzuteilen?

Wenn nichts dort steht würde ich E(X) so in der Berechnung stehenlassen.

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Gerade noch hinzugefügt, gegeben war noch "die mittlere weltweite Veränderung X des Meeresspiegels in m bis zum Jahr 2100 sei gegeben durch eine Nμ,σ² verteilte Zufallsvariable mit μ = 1.2, σ = 0.4.

Answer 1

Aloha :)

Der Erwartungswert ist stets linear:$$E(Y)=E(3\cdot X+0,25)=3\cdot E(X)+0,25$$

Du brauchst also nur den Erwartungswert von \(X\) zu bestimmen.

Comments

Danke! Funktioniert das Prinzip bei der Varianz auch? Wenn Y = 0.4X + 0.6 und X ist Nμ,σ2 verteilt mit μ = 5.1, σ = 0.35

Ist dann V(Y) = Y(0,4X + 0.6) = 0,4 * V(X) + 0,6? mit V(X) = 0.35²

Oder muss das über V(Y) = E((Y-E(Y))² berechnet werden?

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Für die Varianz einer Zufallsvariablen \(X\) gilt nicht die Linearität, aber ein anderer starker und sehr nützlicher Zusammenhang. Sind \(a,b\in\mathbb R\) gilt:$$V(a\cdot X+b)=a^2\cdot V(X)$$

Die Konstante \(b\) fällt weg, denn da variiert ja nichts. Wichtig ist, dass der Vorfaktor der Zufallsvariablen zum Quadrat "rausgezogen" wird.

In deiner Aufgabe wäre konkret:$$V(Y)=V(3\cdot X+0,25)=9\cdot V(X)$$

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Vielen Dank!