n-te Wurzel: Untersuchen Sie die Folge

Question

Aufgabe:

Seien x, y, z ∈ ℝ mit 0 < x < y < z. Untersuchen Sie die Folge
(\( \sqrt[n]{} \) xⁿ+yⁿ+zⁿ) n∈N auf Konvergenz oder Divergenz.

Answer 1

Aloha :)

Du kannst die Folgendlieder \(a_n\) umschreiben:$$a_n=\sqrt[n]{x^n+y^n+z^n}=\sqrt[n]{z^n\cdot\left(\frac{x^n}{z^n}+\frac{y^n}{z^n}+1\right)}=z\cdot\sqrt[n]{1+\left(\frac xz\right)^n+\left(\frac yz\right)^n}\to z$$Wegen \(x<y<z\) ist \(\frac xz<1\) und \(\frac yz<1\). Daher konvergieren \(\left(\frac xz\right)^n\) und \(\left(\frac yz\right)^n\) für \(n\to\infty\) gegen \(0\), sodass die Wurzel insgesamt gegen \(1\) konvergiert.

Comments

Damit ist doch nur gezeigt, dass die Folge nach oben beschränkt ist. Wie folgt daraus Konvergenz?

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Danke dir Arsinoe4...

Da war wohl noch zuviel Restalkohol im Blut vom Feiern gestern ;)

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Eine andere Möglichkeit bietet sich mit dem Einschnürungssatz:
Einerseits ist \(a_n<\sqrt[n]{z^n+z^n+z^n}=\sqrt[n]3\cdot z\longrightarrow z\).
Andererseits ist \(a_n>\sqrt[n]{0^n+0^n+z^n}=z\).

Answer 2

Aus 0 < x < y < z. folgt 0 < x^n < y^n < z^n.

Damit kannst du abschätzen:

\( \sqrt[n]{ 3x^n}<\sqrt[n]{ x^n+y^n+z^n}<\sqrt[n]{ 3z^n}\)

bzw. kürzer

\( x\sqrt[n]{ 3}<\sqrt[n]{ x^n+y^n+z^n}<z\sqrt[n]{ 3}\)