holomorphe Funktion reelle Zahlen

Question

Aufgabe:

Man zeige: Ist \( f: \mathbb{C} \backslash\{0\} \rightarrow \mathbb{C} \) holomorph mit \( f(\mathbb{R}>0) \subset \mathbb{R} \), so gilt auch \( f(\mathbb{R}<0) \subset \mathbb{R} . \) (Hinweis: Betrachte die Funktion \( g: \mathbb{C} \backslash\{0\} \rightarrow \mathbb{C}, z \mapsto \overline{f(\bar{z}) .} \) )

Problem/Ansatz:

hallo :)
kann mir jemand bei der Frage bitte helfen?

LG

Comments

Hallo,

kennt Ihr den Identitätssatz für holomorphe Funktionen auf Gebieten? Was würde der zur Frage g(z)=f(z) aussagen?

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Um das Identitätsprinzip anwenden zu können, müsste man doch erst noch überprüfen, ob g holomorph ist.

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Das wird aber der Fall sein, da man eine Potenzreihenentwicklung findet. Sorry hab nicht nachgedacht.

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Ja, man muss prüfen, ob g holomorph ist. Ergebnis?

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Also ich habe die Frage nicht gestellt. Aber ich denke das gilt, da man zeigen kann, dass man g in jedem Punkt (und einer kleinen Umgebung davon) als Potenzreihe darstellen kann. Und zwar mit der Potenzreihenentwicklung von f mit komplex konjugierten Koeffizienten. Der Ansatz mit dem Identitätsprinzip müsste auch klappen :)