Zeigen Sie, dass die Folge (an + bn) konvergiert und

Question

Aufgabe

Sei K ein angeordneter Körper und seien (an) und (bn) konvergente Folgen in K mit
lim n→∞ an = a und limn→∞ bn = b. Zeigen Sie, dass die Folge (an + bn) konvergiert und
lim n→∞(an + bn) = a + b.

Answer 1

Aloha :)

Gegeben sind uns zwei konvergente Folgen:$$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a\quad;\quad\lim\limits_{n\to\infty}b_n=b$$Wir sollen zeigen, dass dann auch die Summe konvergent ist mit:$$\lim\limits_{n\to\infty}(a_n+b_n)=a+b$$Dazu wählen wir ein \(\varepsilon>0\) beliebig aus. Da \(a_n\) konvergent ist, gibt es ein \(n_a\in\mathbb N\), sodass für alle \(n\ge n_a\) gilt:$$|a_n-a|<\frac{\varepsilon}{2}\quad\text{für }n\ge n_a$$Da auch \(b_n\) konvergent ist, gibt es ein \(n_b\in\mathbb N\), sodass für alle \(n\ge n_b\) gilt:$$|b_n-b|<\frac{\varepsilon}{2}\quad\text{für }n\ge n_b$$Für \(n\ge\operatorname{max}(n_a;n_b)\) gilt daher mit der Dreiecksungleichung:$$|(a_n+b_n)-(a+b)|=|(a_n-a)+(b_n-b)|\le|a_n-a|+|b_n-b|\le\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$$

Für jedes beliebige \(\varepsilon>0\) gibt es ein \(n_0\coloneqq\operatorname{max}(n_a;n_b)\), sodass für alle \(n\ge n_0\) gilt:$$|(a_n+b_n)-(a+b)|<\varepsilon$$Das heißt, die Summe der beiden Folgen ist tatsächlich konvergent und der Grenzwert ist die Summe der beiden Grenzwerte.