Aufgabe:
Ein unverfälschter Würfel werde solange geworfen, bis das erste mal eine 6 geworfen wird. Anschließend an jeden Würfelwurf wird eine faire Münze solange geworfen, bis zum ersten Mal Kopf erscheint. Am Ende des Spiels wird ein Gewinn ausgezahlt, der durch die Gesamtanzahl Y der Münzwürfe, bei denen Zahl erschienen ist, gegeben ist.
(a) Bestimmen Sie die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion sowie die Zähldichte von Y
Problem/Ansatz:
In meinem Ansatz habe ich unsere Sätze zur zufälligen Summe verwendet:
Sei das Werfen des Würfels eine Zufallsvariable \(N \sim \textrm{Geo}(\frac{1}{6})\) und die nach jedem Würfelwurf durchgeführten Münzwürfe eine Folge \((X_i)_{i \in N}\) von Zufallsvariablen mit Verteilung \(\textrm{Geo}(\frac{1}{2}\)).
Dann ist die Gesamtzahl der Münzwürfe, bei denen Zahl erschienen ist
$$Y = \sum_{i=1}^{N} X_i$$
Nach Skript gilt dann für alle \(t \in \mathbb{R}\)
$$m_Y(t) = m_N(m_{X_1}(t))$$
Die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion der geometrischen Verteilung ist gegeben durch
$$m_X(t) = \frac{p}{1-(1-p)t}$$
Also erhalte ich insgesamt
$$ m_Y(t) = \frac{\frac{1}{6}}{1-(1-\frac{1}{6})\frac{\frac{1}{2}}{1-(1-\frac{1}{2})t}} = ... = \frac{1}{6-\frac{5}{2-t}}$$
Ich bin mir aber nicht sicher, ob
1. ich da wirklich die geometrische Verteilung verwenden darf.
2. ich wirklich alle Münzwürfe berücksichtigt habe, da die nach der ersten geworfenen 6 in meinem Modell denke ich ignoriert werden.
3. wie man von der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion jetzt auf die Zähldichte kommt.
