Aloha :)
Die Extremstellen der Funktion$$f(x)=\underbrace{(x^2-3x+2)}_{=u}\cdot \underbrace{e^{2-x}}_{=v}$$finden wir bei den Nullstellen der ersten Ableitung$$f'(x)=\underbrace{(2x-3)}_{=u'}\cdot \underbrace{e^{2-x}}_{=v}+\underbrace{(x^2-3x+2)}_{=u}\cdot\underbrace{\overbrace{e^{2-x}}^{=\text{äußere Abl.}}\cdot\overbrace{(-1)}^{=\text{innere Abl.}}}_{=v'}$$$$\phantom{f'(x)}=(2x-3)\cdot e^{2-x}-(x^2-3x+2)\cdot e^{2-x}=(2x-3-x^2+3x-2)\cdot e^{2-x}$$$$\phantom{f'(x)}=-(x^2-5x+5)\cdot e^{2-x}$$Da die Exponentialfunktion immer positiv ist, kann nur die Klammer \(=0\) werden. Ihre Nullstellen finden wir mit der pq-Formel:$$x_{1;2}=\frac52\pm\sqrt{\frac{25}{4}-5}=\frac{5}{2}\pm\sqrt{\frac54}=\frac{5\pm\sqrt5}{2}$$
Über die Art der Extrema gibt die zweite Ableitung Auskunft. Diese wird genau nach demselben Schema wie die erste Ableitung gebildet:$$f''(x)=-(2x-5)e^{2-x}+(x^2-5x+5)e^{2-x}=(x^2-7x+10)\cdot e^{2-x}$$Wir setzen die Kandidaten ein und finden:$$f''\left(x_1=\frac{5-\sqrt5}{2}\right)>0\implies\text{Minimum}$$$$f''\left(x_2=\frac{5+\sqrt5}{2}\right)<0\implies\text{Maximum}$$
~plot~ (x^2-3x+2)*e^(2-x) ; [[0|6|-0,5|2]] ~plot~
