Zusammenhang - Grad und Nullstellen

Question

Aufgabe: Zusammenhang Nullstellen und Grad einer Funktion?

Problem/Ansatz:

was mir bekannt ist, ist dass eine Funktion so viele Nullstellen haben kann wie der Grad hoch ist und dass eine Funktion mit ungeradem Grad mind. eine Nullstelle haben muss. Eine Aufgabe lautete:

Eine ganzrationale Funktion vom Grad 7 hat bei -2 eine dreifache Nullstelle und die vierfache Nullstelle bei 3. Kann f weitere Nullstellen besitzen? Begründen Sie.

In den Lösungen steht, dass das nicht funktioniert, da die Vielfachen der Nullstellen in Summe bereits 7 ergeben. Ist das immer so oder gibt es noch weitere wichtige Zusammenhänge?

Vielen Dank im Voraus

Answer 1

Aloha :)

Wenn eine Funktion eine 3-fache Nullstelle bei \((-2)\) hat, enthält sie den Linearfaktor \((x+2)^3\). Wenn eine Funktion eine 4-fache Nullstelle bie \(3\) hat, enthält sie den Linearfaktor \((x-3)^4\).

Zusammengefasst enhält die Funktion also die Faktoren$$(x+2)^3\cdot(x-3)^4$$Wenn man das ausrechnet, erhält man bereits ein Polynom 7-ten Grades. Daher kann die Funktion keine weiteren Nullstellen haben.

Die Vielfachheit der Nullstellen musst du also bei der Gesamtzahl der Nullstellen berücksichtigen.