Was kann man über den Grad von f aussagen? Gib die Wertemenge von f an. (Potenzfunktionen mehrgradig)

Question

Aufgabe:

a) Der Graph \( \mathrm{G}_{\mathrm{f}} \) der Potenzfunktion \( \mathrm{f} \) mit \( f(x)=a x^{n} \) verläuft durch die Punkte \( A(-2 \mid 2) \) und \( B(3 \mid 10,125) \). Was kann man über den Grad von \( f \) aussagen? Gib die Wertemenge von \( {f} \) an.

b) Bestimme a und \( \mathrm{n} \), gib dann den Funktionsterm an und zeichne den Graphen \( \mathrm{G}_{\mathrm{f}} \).

c) Gib die Terme von drei ganzrationalen Funktionem unterschiedlichen Grades an, deren Graphen den Graph \( \mathrm{G}_{\mathrm{f}} \) in den Punkten \( A(-2 | 2) \) und \( \mathrm{C}(2 \mid 2) \) schneiden. Überprüfe ggf. deine Lösungen mit Hilfe eines Funktionsplotters.

Answer 1

f ( x ) = a * x^n

f ( -2 ) = 2
f ( 3 ) = 10.125

f ( -2 ) = a * (-2)^n = 2
f ( 3 ) = a * 3^n =10.125

a * (-2)^n = 2
a * 3^n =10.125 | beide Gleichungen teilen
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( a * (-2)^n ) / ( a * 3^n ) = 2 / 10.125  | das a entfällt
(-2)^n  / 3^n  = 2 / 10.125
(-2 / 3 ) ^n  = 2 / 10.125 | ln ( )
ln [ (-2 / 3 ) ^n ] = ln ( 2 / 10.125 )
n * ln (-2 / 3 )  = ln ( 2 / 10.125 )

ln ( -2/3 ) ist nicht definiert.
Ich bekomme keine Lösung heraus.

Comments

Man sollte schon den Teil a) nutzen.

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Ich habe soweit umgestellt, dass ich nun bei

2/(-2)^n * 3^n = 10,125

bin.

Habe also die 1. Gleichung in die 2. eingesetzt

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Ok, dann mach da mal eine Potenzgleichung draus.

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Eigentlich geht es jetzt so weiter wie bei mir.

Es gibt jetzt noch folgende Überlegung
( -2 / 3 ) ^n

n ist ganzzahlig. Falls n gerade ist kann man auch schreiben
( -2 / 3 ) ^n = ( 2 / 3 ) ^n

ln [ (-2 / 3 ) ⁿ ] = ln ( 2 / 10.125 )
ln [ ( 2 / 3 ) ⁿ ] = ln ( 2 / 10.125 )
n * ln ( 2 / 3 )  = ln ( 2 / 10.125 )
n = 4

a * (-2)ⁿ = 2
a * (-2)^4 = 2
a = 1/8

f ( x ) = 1/8 * x ^4

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Wie soll ich draus eine Potenzgkeichung machen? ^^

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Wie soll ich draus eine Potenzgkeichung machen? ^^

Steht doch schon da
f ( x ) = 1/8 * x ⁴ 

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Wie soll ich daraus eine Potenzgleichung machen? ^^

\( \frac {2} {(-2)^n} \cdot 3^n = 10.125 \)

Na,  etwa so:

\( \left( - \frac 32 \right)^n =  \frac  { 10.125 }  { 2 }  = \frac { 81 } { 16 } = \left(\frac { 3 } { 2 }\right)^4 \)

Und jetzt überlege, welchen Wert \(n\) haben könnte...

Answer 2

a) Der Umstand, dass sowohl positive als auch negative Zahlen eine positive Zahl ergeben lässt auf eine  ganzrationale Funktion mit geradem Grad schließen. Folglich wäre der Wertebereich der der positiven Reellen Zahlen.

b)Der kleinst mögliche grad wäre 2. Einsetzen ergibt:

$$ 2=4a $$

$$10,125=9a$$

Es gibt pro Gleichung nur eine Lösung, diese sind unterschiedlich. Daher kein Glück hier.

Das nächst beste ist Grad 4:

$$2=16a$$

$$10,125=81a $$

das gibt uns eine Lösung aus, nämlich a=0,125

Folglich lautet unsere Funktion:

$$f(x) = 0,125x^4 $$

c folgt gleich noch

Comments

(a)  \(f(0)\) ist nicht positiv.

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c) wäre etwas arbeit. Grundsätzlich bietet es sich an, eine lineare Funktion, eine kubische Funktion und eine quadratische Funktion zu nehmen.

die erste Funktion wäre einfach eine vom Grad 0, nämlich f(x) = 2

die zweite wäre f(x) = 0,5x²

und just for the hack of it, $$ \frac {1} {32} x^6$$ erfüllt das ebenfalls

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stimmt, wird sofort korrigiert.

Es muss natürlich heißen nicht negative ganze reelle Zahlen.

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Nur ganze Zahlen?

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Alter reflex. Ignoriert das ganze einfach, reell steht ja noch dahinter.