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Aufgabe:

2. Lösen Sie \( a_{n}=6 a_{n-1}-9 a_{n-2}, n \geq 2 \), mit \( a_{0}=1, a_{1}=6 \).
3. Lösen Sie \( a_{n}=-4 a_{n-2}, n \geq 2 \), mit \( a_{0}=0, a_{1}=4 \).


Problem/Ansatz:

Bei Aufgabe 2 habe ich den folgenden Ansatz gewählt, aber für Lambada1 kam 3 raus und für k1 ( k1*Lambada1n + k2*Lambada2n) hatte ich die Lösung 3, was aber falsch ist(2*3n). Ist der Ansatz nicht richtig?

Lambada12 = 6*Lambada21 - 9*Lambada3



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Lambada? ¡Olé!

Der elfte Buchstabe des griechischen Alphabets ist Lambda.

Ups. Da hast du Recht. Kannst du mir denn bei der Aufgabe helfen?

Was bedeutet es, eine Rekursionsvorschrift zu lösen? Soll man die rekursiv definierte Folge aufschreiben? Wie ist λ definiert?

Also wir sollten da eine allgemeine und spezielle Lösung für a0 und a1 berechnen mit dem Ansatz Lambda2 = 6*Lambda1 - 9*Lambda

für

an=6an−1−9an−2 ,n≥2 

Da kam dann Lambda=3 raus , was wir vorher immer in k1*Lambda1n + k2*Lambda2n

eingesetzt haben mit a0 und a1


Sollten deine Exponenten nicht Fußnoten sein?

Die Rekursion ergbt diese ersten 7 Glieder:

1, 6, 27, 108, 405, 1458, 5103,...

Eigentlich nicht, aber vielleicht habe ich da auch was falsch verstanden

2 Antworten

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Hallo,

Der Ansatz für die Aufgabe 2 könnte sein$$a_n=f(n) \cdot \lambda^n$$Und wenn man für \(f(n)=c_0+c_1n\) setzt, kann man beide Parameter \(c_0\) und \(c_1\) getrennt betrachten. Für \(c_0\) ergibt sich die quadratische Gleichung, die Du oben angeschrieben hast$$f(n)\lambda^{n} =6f(n-1)\lambda^{n-1} -9f(n-2)\lambda^{n-2}\\ f(n)=c_0 \\\implies \lambda^2=6\lambda - 9 \implies \lambda_{1,2}=3$$Setzt man nun \(f(n)=c_1n\) ein ... (\(\lambda=3\))$$\begin{aligned}c_1n \lambda^{n} &= 6c_1(n-1) \lambda^{n-1} - 9c_1(n-2)\lambda^{n-2}&&|\,\div c_1\lambda^{n-2}\\ 3^2n &= 3\cdot 6(n-1) -9(n-2)&&|\,\div 9\\ n &= 2(n-1) -(n-2) \\ n&=n \space \checkmark\end{aligned}$$... so sieht man, dass dies immer erfüllt ist. Und mit Vorgabe von \(a_0=1\) und \(a_1=6\) lassen sich die beiden Parameter berechnen$$a_n=3^n(c_0+c_1n)\\ a_0 = c_0 =1 \\ a_1 = 3(c_0+c_1) =6 \implies c_1=1$$Also lautet die explizite Form$$a_n=3^n(n+1)$$

3. Lösen Sie \( a_{n}=-4 a_{n-2}, \space n \geq 2 \), mit \( a_{0}=0, a_{1}=4 \).

schreib mal ein paar Elemente hin:$$a_n=\in\{0,\,4,\,0,\,-\!16,\,0,\,64,\,0,\,-\!256,\,0,\dots\}$$Es fällt natürlich sofort auf, dass$$|a_n|=\begin{cases}0&&2\mid n\\ 2^{n+1}&& 2\nmid n\end{cases}$$Zum einen alterniert die Folge zwischen 0 und einem Wert und der Wert wechselt immer das Vorzeichen. Ersteres bekommt man mit diesem Term hin$$b_n = \frac12(1+(-1)^{n+1})\\\implies b_0=0,\quad b_1=1,\quad b_2=0,\quad b_3=1,\quad b_4=0, \space\dots$$und für den Vorzeichenwechsel alle 2 Elemente taugt$$v_n = (-1)^{\lfloor n/2\rfloor}\\\implies v_1=1,\quad v_3=-1,\quad v_5=1,\quad v_7-1$$alles zusammen bauen gibt$$a_n = b_n\cdot v_n\cdot 2^{n+1}\\\phantom{a_n}= \frac12(1+(-1)^{n+1})(-1)^{\lfloor n/2\rfloor}2^{n+1}\\\phantom{a_n}= (1+(-1)^{n+1})(-1)^{\lfloor n/2\rfloor}2^{n}$$Gruß Werner

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Hallo :-)

Beide Aufgaben kannst du mithilfe von Eigenwerten lösen. Hier ist mal sowas beispielhaft vorgerechnet:

https://www.mathelounge.de/892902/finden-sie-fur-folgenden-linearen-rekurrenzen-eine-losung

Ansonsten kannst du 3.) erraten, indem du mal die ersten Folgenglieder ausrechnest.

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Beide Aufgaben kannst du mithilfe von Eigenwerten lösen.

Eine Lösung der Aufgabe 2 über die Diagonalisierung der Matrix \(A\)$$  \begin{pmatrix} a_{n-1}\\a_{n} \end{pmatrix}=A\cdot\begin{pmatrix} a_{n-2}\\a_{n-1} \end{pmatrix}\quad\text{mit}\quad A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -9 & 6 \end{pmatrix}$$ist hier nicht möglich, da \(A\) keine unabhängigen Eigenvektoren besitzt. Deshalb gibt es ja auch nur ein Lösung für \(\lambda\), nämlich \(\lambda=3\).

Wie sieht deine Matrix A aus?

Unabhängig davon kannst du ja bei einer 2x2 Matrix auch ohne Diagonalisierung immernoch recht gut die Matrixpotenz von A bestimmen, indem du dir einfachmal die ersten zb 10 Potenzen anschaust.

... indem du dir einfachmal die ersten zb 10 Potenzen anschaust.

$$A^{10}=\begin{pmatrix}-531441& 196830\\ -1771470& 649539\end{pmatrix}$$Na ja - wenn man die Zahlen faktorisiert, könnte man natürlich gewisse Schlüsse ziehen ;-)

Du kannst auch die Jordannormalform von A berechnen. Da ließe sich noch recht angenehm die Potenz ausrechnen.

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